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FractalesIntroducción

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Al mirar alrededor de la naturaleza, es posible que haya notado plantas complejas como estas:

Este Helecho consiste en muchas hojas pequeñas que se ramifican de una más grande.

Este brócoli romanesco consiste en en espiral alrededor de uno más grande.

Inicialmente, estos aparecen como formas muy complejas, pero cuando miras más de cerca, puedes notar que ambos siguen un patrón relativamente simple: todas las partes individuales de las plantas se ven exactamente igual que la totalidad planta, solo que más pequeña. El mismo patrón se repite una y otra vez, a escalas más pequeñas.

En matemáticas, llamamos a esta propiedad autosimilitud, y las formas que la tienen se llaman fractales. Son algunos de los objetos más bellos y extraños de todas las matemáticas.

Para crear nuestros propios fractales, tenemos que comenzar con un patrón simple y luego repetirlo una y otra vez, a escalas más pequeñas.

Uno de los patrones más simples podría ser un segmento de línea , con dos segmentos más que se ramifican desde un extremo. Si repetimos este patrón, ambos segmentos azules también tendrán dos ramas más en sus extremos.

Puede mover los puntos azules para cambiar la longitud y el ángulo de todas las ramas. Luego aumente el número de iteraciones usando el control deslizante a continuación.

Dependiendo de la posición de las ramas, puedes hacer patrones completamente diferentes, como el arriba, un o . ¿Qué más puedes encontrar?

Otro famoso fractal es el triángulo de Sierpinski. En este caso, comenzamos con un triángulo equilátero grande, y luego cortamos repetidamente triángulos más pequeños de las partes restantes.

Observe cómo la forma final está compuesta de tres copias idénticas de sí misma, ¡y cada una de estas está compuesta de copias aún más pequeñas de todo el triángulo! Podrías seguir haciendo zoom en el triángulo para siempre, y los patrones y formas siempre continuarán repitiéndose.

Las plantas al comienzo de este capítulo se ven como fractales, pero es claramente imposible crear verdaderos fractales en la vida real. Si seguimos repitiendo el mismo patrón una y otra vez, cada vez más pequeños, eventualmente llegaríamos a células, moléculas o átomos que ya no se pueden dividir.

Sin embargo, usando las matemáticas, podemos pensar en las propiedades que los fractales reales "tendrían", y estas son muy sorprendentes ...

Dimensiones fractales

Primero, pensemos en la dimensión de los fractales. Una línea tiene dimensión . Al escalarlo en un factor de 2, su longitud aumenta en un factor de 21=2. ¡Obviamente!

Un cuadrado tiene dimensión . Al escalarlo en un factor de 2, su área aumenta en un factor de 22= .

Un cubo tiene dimensión . Al escalarlo en un factor de 2, su volumen aumenta en un factor de 23= . Observe que el cubo más grande en la imagen ¡consta de 8 copias de la más pequeña!

Ahora echemos un vistazo al triángulo de Sierpinski. Si lo escalamos por un factor de 2, puede ver que su "área" aumenta en un factor de .

Digamos que d es la dimensión del triángulo de Sierpinski. Usando el mismo patrón que el anterior, obtenemos 2d=3. En otras palabras, d = ≈ 1.585…

Pero espera ... ¿cómo puede algo tener una dimensión que no sea un número entero? Parece imposible, pero esta es solo una de las propiedades extrañas de los fractales. De hecho, esto es lo que les da su nombre a los fractales: tienen una dimensión fraccional.

Con cada iteración, eliminamos parte del área del triángulo de Sierpinski. Si pudiéramos hacer esto infinitamente muchas veces, en realidad no quedaría ningún área: es por eso que el triángulo de Sierpinski es algo entre un área bidimensional y una línea unidimensional.

Mientras que muchos fractales son auto-similares, una mejor definición es que fractales son formas que tienen una dimensión no entera.

El copo de nieve de Koch

Hay muchas formas en la naturaleza que parecen fractales. Ya hemos visto algunas plantas al comienzo de este capítulo. Otros grandes ejemplos son los copos de nieve y los cristales de hielo:

Para crear nuestro propio copo de nieve fractal, una vez más tenemos que encontrar un procedimiento simple que podamos aplicar una y otra vez.

Al igual que el triángulo de Sierpinski, comencemos con un solo triángulo equilátero. Sin embargo, en lugar de eliminar triángulos más pequeños en cada paso, agregamos triángulos más pequeños a lo largo del borde. La longitud lateral de cada triángulo es de los triángulos en el paso anterior.

La forma resultante se llama copo de nieve de Koch, llamado así por el matemático sueco Helge von Koch. Observe, una vez más, que secciones pequeñas del borde del copo de nieve se ven exactamente igual que secciones más grandes.

Cuando escalamos un segmento de borde del Copo de nieve Koch por un factor de 3, su longitud .

Usando la misma relación entre dimensiones y factores de escala que el anterior, obtenemos la ecuación . Esto significa que la dimensión del copo de nieve de Koch es d=log341.262.

Área

Crear los copos de nieve Koch es casi como una secuencia recursiva: conocemos la forma inicial (un triángulo) y sabemos cómo pasar de un término al siguiente (agregando más triángulos en cada borde):

nuevos triángulos

nuevos triángulos

nuevos triángulos

Después de la primera iteración, el número de nuevos triángulos agregados aumenta en un factor de en cada paso. Al mismo tiempo, el área de estos nuevos triángulos disminuye en un factor de en cada paso.

Digamos que el primer triángulo tiene un área de 1. Luego, el área total de los próximos tres triángulos es 3×19=13. Los siguientes pasos forman una , con una proporción común .

Usando la fórmula para la suma de infinitas series geométricas, podemos calcular que el área total del copo de nieve de Koch es

A=1+13×1=85=1.6.

Perímetro

También podemos intentar calcular el perímetro del copo de nieve de Koch. Como ya hemos visto antes, la longitud del perímetro cambia por un factor de en cada paso.

Esto significa que, una vez más, tenemos una serie geométrica, pero en este caso, . ¡Esto significa que el perímetro del copo de nieve de Koch es en realidad infinitamente largo!

Si esto parece contradictorio, solo recuerda que multiplicamos el perímetro por 43 en cada paso, y lo hacemos infinitamente muchas veces.

Es casi impensable que pueda tener una forma con un área finita y también una circunferencia infinita, pero esta es solo una de las muchas propiedades inesperadas de los fractales.

¿Puedes encontrar alguna otra forma de crear tus propios fractales?

"Mi alma está en espiral en fractales congelados por todas partes ..."

esponja Menger

Los fractales no tienen que ser "planos", como muchos de los ejemplos anteriores. Uno de los fractales más famosos que parecen tridimensionales es la esponja Menger, llamada así por el matemático Karl Menger que la describió por primera vez en 1926.

Comenzamos con un cubo sólido, y repetidamente taladramos agujeros cada vez más pequeños en sus lados. Cada nueva iteración de agujeros tiene el ancho de la iteración anterior de agujeros.

Un cubo 3×3×3 consta de 27 cubos más pequeños, pero aquí hemos eliminado algunos de estos. La esponja Menger consta de copias de sí misma, que son 3 veces más pequeñas.

Ahora podemos intentar calcular la dimensión d de la esponja Menger tal como lo hicimos para el copo de nieve de Koch arriba. En este caso obtenemos 3d=20 o d=log3202.727.

Si imagina cortar más y más agujeros, infinitas veces, no quedaría ningún volumen real. ¡Es por eso que el cubo es "no del todo" tridimensional!

Costas fractales

Una de las características clave de todos los fractales que hemos visto hasta ahora es que puedes "acercar" para siempre y siempre encontrar nuevos patrones. Alrededor de 1920, el matemático británico Lewis Fry Richardson se dio cuenta de que lo mismo es cierto para la frontera o la costa de muchos países.

Comienza con la forma básica del país y, a medida que se acerca, agrega entradas de ríos, bahías y estuarios, luego acantilados individuales, rocas, guijarros, etc.

Este es un problema importante cuando se trata de calcular la longitud de la frontera de un país: ¿cómo decide hasta qué punto acercarse y qué rincones y grietas incluir?

Una manera de medir la longitud de la costa de Gran Bretaña, por ejemplo, es tomar una regla larga, caminar alrededor de sus playas y luego sumar todas las distancias.

Si la regla tiene ${rulers[index]} km de largo, tenemos que usarla ${count} veces, por lo que obtenemos una línea costera total de ${count} × ${rulers[index]} = ${count * rulers[index]} km.

Podemos seguir adelante, con gobernantes cada vez más pequeños, y cada vez que nuestro resultado para la longitud de la costa sea un poco más largo. Al igual que el Copo de nieve de Koch, ¡parece que la costa de Gran Bretaña es infinitamente larga! Esto a menudo se llama la paradoja de la costa.

Algunas décadas más tarde, el matemático Benoit Mandelbrot tropezó con el trabajo de Richardson en un libro de la biblioteca descartado, mientras trabajaba en IBM. Reconoció su importancia y también cómo se relaciona con investigaciones más recientes sobre fractales y dimensiones.

La costa de Gran Bretaña ciertamente "parece" fractal, pero no es auto-similar, como otros fractales que hemos visto antes. Para encontrar su tamaño, podemos dibujarlo en una cuadrícula y contar el número de celdas con las que se cruza.

Inicialmente, hay 88 celdas de intersección. Si escalamos la costa por un factor de 2, hay 197 celdas que se cruzan, ¡más del doble!

El tamaño de la costa ha aumentado en un factor de 19788. Como antes, esto significa que la dimensión de la costa es

d=log2197881.16

Si repetimos esto con cuadrículas más grandes, encontraremos que la dimensión de la costa de Gran Bretaña es en realidad aproximadamente 1.21. Mandelbrot se dio cuenta de que esta dimensión fractal también es una medida de la rugosidad de una forma, un nuevo concepto, para el cual encontró importantes aplicaciones en muchas otras áreas de las matemáticas y las ciencias.

Más fractales en la naturaleza y la tecnología

Si bien los verdaderos fractales nunca pueden aparecer en la naturaleza, hay muchos objetos que se parecen casi a fractales. Ya hemos visto plantas, copos de nieve y costas, y aquí hay algunos ejemplos más:

Cordillera en Asia central

y cinco

Delta del río Ganges en India

Rayos

Vasos sanguíneos en la retina

Gran Cañón en los EE. UU.

Nubes

Todos estos objetos pueden aparecer completamente al azar, pero, al igual que los fractales, hay un patrón subyacente que determina cómo se forman. Las matemáticas pueden ayudarnos a comprender mejor las formas, y los fractales tienen aplicaciones en campos como la medicina, la biología, la geología y la meteorología.

Terreno fractal generado por computadora

También podemos usar fractales para crear "copias" realistas de la naturaleza, por ejemplo, como paisajes y texturas utilizadas en videojuegos o películas generadas por computadora. ¡El agua, las montañas y las nubes en esta imagen están hechas completamente por una computadora, con la ayuda de fractales!

E incluso podemos revertir este proceso para comprimir imágenes digitales, para reducir su tamaño de archivo. Los primeros algoritmos fueron desarrollados por Michael Barnsley y Alan Sloan en la década de 1980, y todavía se están investigando nuevos.

Archie