FractalesEl conjunto de Mandelbrot
Todos los fractales que vimos en los capítulos anteriores se crearon utilizando un proceso de iteración: comienzas con un patrón específico y luego lo repites una y otra vez.
Esto es similar a otro concepto en matemáticas que viste antes: con
Tomemos como ejemplo la fórmula recursiva
Observe cómo la secuencia resultante puede comportarse de manera muy diferente, dependiendo del valor inicial
Si
Si
Si
Hasta ahora, no hemos aprendido nada nuevo. Sin embargo, hace aproximadamente un siglo, los matemáticos comenzaron a explorar qué sucede con estas secuencias si usas
Conjuntos de Julia
Usemos la misma secuencia que antes,
Como puede ver, la secuencia converge siempre que
Ahora hagamos las cosas un poco más difíciles. En lugar de simplemente cuadrar el número anterior, también agregamos una constante c cada vez (que puede ser cualquier número complejo). En otras palabras,
En este diagrama, puede mover la posición de
En algunos casos, la secuencia no converge a un punto único, sino que alcanza un ciclo de múltiples puntos, como un triángulo. Estos ciclos se denominan órbitas.
Los puntos de color azul significan que la secuencia correspondiente converge o tiene una órbita (decimos que está delimitada). Los puntos que quedan en blanco significan que la secuencia correspondiente diverge: no está acotada, y eventualmente explota hasta el infinito.
Las diferentes formas que se forman coloreando los números se llaman
En ese momento, no había computadoras para ayudar a visualizar cómo se veían los conjuntos de Julia. Los matemáticos como Julia y Fatou pudieron razonar matemáticamente sobre ellos, pero solo vieron bocetos a mano y toscos de cómo se verían.
Hoy no tenemos este problema: las imágenes a continuación son todos conjuntos de Julia diferentes. Los diferentes colores indican qué tan rápido la secuencia en ese punto diverge:
El conjunto de Mandelbrot
Al crear los diferentes conjuntos de Julia, es posible que haya notado que había algunos valores de c para los cuales cada secuencia diverge, y todo el plano complejo permanece blanco. Unas pocas décadas después de Julia y Fatou, una nueva generación de matemáticos intentó mapear cómo se veían estas áreas.
En el ejemplo anterior, elegimos un valor fijo para
Una vez más, pinta sobre el plano complejo para revelar el área en la que las secuencias permanecen delimitadas. ¿Qué formas esperas que aparezcan?
Este fractal se llama
Unos años más tarde,
Como todos los fractales, podemos "acercarnos" al conjunto de Mandelbrot para siempre, encontrando nuevos patrones en cada escala. Aquí puede ampliar una parte del conjunto de Mandelbrot que se llama Seahorse valley. Los puntos negros son dentro de el conjunto de Mandelbrot, donde la secuencia está limitada. Los puntos de color están fuera de del conjunto de Mandelbrot, donde la secuencia diverge, y los diferentes colores indican qué tan rápido crece hasta el infinito:
Este control deslizante consta de 27 imágenes individuales, hasta un nivel de zoom de más de 14 billones, o
A medida que mueve el valor de c alrededor del conjunto de Mandelbrot, puede notar una propiedad curiosa:
- Todas las secuencias dentro del cuerpo principal del conjunto Mandelbrot
en un solo punto. - Las secuencias dentro del bulbo grande en la parte superior
que consta de puntos. - Las secuencias en esta bombilla más pequeña tienen órbitas de longitud
.
Cada bombilla tiene una órbita de diferente tamaño, con bombillas más pequeñas que tienen más y más puntos en sus órbitas. El tamaño de estas órbitas está estrechamente relacionado con el Mapa logístico, un concepto importante en Teoría del caos.
Bernoit Mandelbrot dedicó la mayor parte de su vida al estudio de los fractales, así como a las matemáticas de la aspereza y la autosimilitud. Su trabajo tuvo aplicaciones en física, meteorología, neurología, economía, geología, ingeniería, informática y muchos otros campos.
En 1985, el set de Mandelbrot apareció en la portada de la revista Scientific American, y desde entonces se ha convertido en una de las formas matemáticas más reconocibles del mundo. Puede encontrarlo en camisetas, videos musicales y como protectores de pantalla, y ha sido mencionado en muchos libros y películas populares.