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Tiếng ViệtFractalesEl triángulo de Sierpinski
Uno de los fractales que vimos en el capítulo anterior fue el
Wacław Sierpiński fue el primer matemático en pensar en las propiedades de este triángulo, pero ha aparecido muchos siglos antes en obras de arte, patrones y mosaicos.
Aquí hay algunos ejemplos de revestimientos de pisos de diferentes iglesias en Roma:
Como resultado, el triángulo de Sierpinski aparece en una amplia gama de otras áreas de las matemáticas, y hay muchas formas diferentes de generarlo. ¡En este capítulo, exploraremos algunos de ellos!
Triángulo de Pascal
Es posible que ya recuerde el triángulo de Sierpinski de nuestro capítulo sobre
El triángulo de Pascal puede continuar hacia abajo para siempre, y el patrón de Sierpinski continuará con triángulos cada vez más grandes. Ya puedes ver el comienzo de un triángulo aún más grande, comenzando en la fila 16.
Si dos celdas adyacentes son divisibles por 2, entonces su suma en la celda debajo también debe ser divisible por 2, es por eso que solo podemos obtener triángulos de colores (o celdas individuales). Por supuesto, también podemos intentar colorear todas las celdas divisibles por números que no sean 2. ¿Qué crees que pasará en esos casos?
Aquí puedes ver una pequeña versión de las primeras 128 filas del triángulo de Pascal. Hemos resaltado todas las celdas que son divisibles por
Para cada número, tenemos un patrón triangular diferente similar al triángulo de Sierpinski. El patrón es particularmente regular si elegimos un
El juego del caos
Aquí puedes ver los tres vértices de un triángulo equilátero. Toque en cualquier lugar del área gris para crear un cuarto punto.
Juguemos un juego simple: elegimos uno de los vértices del triángulo al azar, dibujamos un segmento de línea entre nuestro punto y el vértice, y luego encontramos el punto medio de ese segmento.
Ahora repetimos el proceso: elegimos otro vértice aleatorio, dibujamos el segmento desde nuestro último punto y luego encontramos el punto medio. Tenga en cuenta que coloreamos estos nuevos puntos en función del color del vértice del triángulo que elegimos.
Hasta ahora, no ha sucedido nada sorprendente, pero observe cómo repetimos el mismo proceso muchas veces más:
Este proceso se llama Chaos Game. Puede haber algunos puntos extraviados al principio, pero si repite los mismos pasos muchas veces, la distribución de puntos comienza a parecerse exactamente al triángulo de Sierpinski.
Hay muchas otras versiones: por ejemplo, podríamos comenzar con un cuadrado o un pentágono, podríamos agregar reglas adicionales como no poder seleccionar el mismo vértice dos veces seguidas, o podríamos elegir el siguiente punto en una proporción que no sea
¿Descubriste la o este basado en la
Autómatas celulares
Un autómata celular es una cuadrícula que consta de muchas células individuales. Cada celda puede estar en diferentes "estados" (por ejemplo, diferentes colores), y el estado de cada celda está determinado por sus celdas circundantes.
En nuestro ejemplo, cada celda puede ser negra o blanca. Comenzamos con una fila que contiene un solo cuadrado negro. En cada fila siguiente, el color de cada celda está determinado por las tres celdas inmediatamente anteriores. Toque las ocho opciones posibles a continuación para cambiar su color: ¿puede encontrar un conjunto de reglas que cree un patrón similar al triángulo de Sierpinski?
Hay dos opciones para cada una de las ocho opciones, lo que significa que hay
Los autómatas celulares muestran cómo se pueden crear patrones altamente complejos mediante reglas muy simples, al igual que los fractales. Muchos procesos en la naturaleza también siguen reglas simples, pero producen sistemas increíblemente complejos.
En algunos casos, esto puede conducir a la aparición de patrones que se parecen a los autómatas celulares, por ejemplo, los colores en el caparazón de este caracol.
Conus textile, un caracol de mar venenoso
Tetrahedra de Sierpinski
Hay muchas variantes del triángulo de Sierpinski y otros fractales con propiedades y procesos de creación similares. Algunos se ven bidimensionales, como la Alfombra Sierpinski que viste arriba. Otros se ven tridimensionales, como estos ejemplos:
Tetrahedra de Sierpinski
Pirámide de Sierpinski