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FractalesEl triángulo de Sierpinski

Tiempo de leer: ~25 min

Uno de los fractales que vimos en el capítulo anterior fue el triángulo de Sierpinski, que lleva el nombre del matemático polaco Wacław Sierpiński. Se puede crear comenzando con un triángulo equilátero grande y luego cortando repetidamente triángulos más pequeños fuera de su centro.

Wacław Sierpiński fue el primer matemático en pensar en las propiedades de este triángulo, pero ha aparecido muchos siglos antes en obras de arte, patrones y mosaicos.

Aquí hay algunos ejemplos de revestimientos de pisos de diferentes iglesias en Roma:

Como resultado, el triángulo de Sierpinski aparece en una amplia gama de otras áreas de las matemáticas, y hay muchas formas diferentes de generarlo. ¡En este capítulo, exploraremos algunos de ellos!

Triángulo de Pascal

Es posible que ya recuerde el triángulo de Sierpinski de nuestro capítulo sobre el triángulo de Pascal. Esta es una pirámide numérica en la que cada número es la suma de los dos números anteriores. Toque todos los números pares en el triángulo a continuación para resaltarlos y vea si nota un patrón:

1
1
1
1
2
1
1
3
3
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6
4
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5
10
10
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1
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35
35
21
7
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56
70
56
28
8
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36
84
126
126
84
36
9
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45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
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66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
1
15
105
455
1365
3003
5005
6435
6435
5005
3003
1365
455
105
15
1
1
16
120
560
1820
4368
8008
11440
12870
11440
8008
4368
1820
560
120
16
1
1
17
136
680
2380
6188
12376
19448
24310
24310
19448
12376
6188
2380
680
136
17
1
1
18
153
816
3060
8568
18564
31824
43758
48620
43758
31824
18564
8568
3060
816
153
18
1

El triángulo de Pascal puede continuar hacia abajo para siempre, y el patrón de Sierpinski continuará con triángulos cada vez más grandes. Ya puedes ver el comienzo de un triángulo aún más grande, comenzando en la fila 16.

Si dos celdas adyacentes son divisibles por 2, entonces su suma en la celda debajo también debe ser divisible por 2, es por eso que solo podemos obtener triángulos de colores (o celdas individuales). Por supuesto, también podemos intentar colorear todas las celdas divisibles por números que no sean 2. ¿Qué crees que pasará en esos casos?

Divisible by ${n}:

Aquí puedes ver una pequeña versión de las primeras 128 filas del triángulo de Pascal. Hemos resaltado todas las celdas que son divisibles por ${n}. ¿Qué notas?

Para cada número, tenemos un patrón triangular diferente similar al triángulo de Sierpinski. El patrón es particularmente regular si elegimos un . Si el número tiene _muchos factores primos diferentes, el patrón parece más aleatorio._

El juego del caos

Aquí puedes ver los tres vértices de un triángulo equilátero. Toque en cualquier lugar del área gris para crear un cuarto punto.

Juguemos un juego simple: elegimos uno de los vértices del triángulo al azar, dibujamos un segmento de línea entre nuestro punto y el vértice, y luego encontramos el punto medio de ese segmento.

Ahora repetimos el proceso: elegimos otro vértice aleatorio, dibujamos el segmento desde nuestro último punto y luego encontramos el punto medio. Tenga en cuenta que coloreamos estos nuevos puntos en función del color del vértice del triángulo que elegimos.

Hasta ahora, no ha sucedido nada sorprendente, pero observe cómo repetimos el mismo proceso muchas veces más:

Este proceso se llama Chaos Game. Puede haber algunos puntos extraviados al principio, pero si repite los mismos pasos muchas veces, la distribución de puntos comienza a parecerse exactamente al triángulo de Sierpinski.

Hay muchas otras versiones: por ejemplo, podríamos comenzar con un cuadrado o un pentágono, podríamos agregar reglas adicionales como no poder seleccionar el mismo vértice dos veces seguidas, o podríamos elegir el siguiente punto en una proporción que no sea 12 a lo largo del segmento. En algunos de estos casos, solo obtendremos una distribución aleatoria de puntos, pero en otros casos, revelaremos aún más fractales:

Triangle
Square
Pentagon

¿Descubriste la o este basado en la Proporción dorada?

Autómatas celulares

Un autómata celular es una cuadrícula que consta de muchas células individuales. Cada celda puede estar en diferentes "estados" (por ejemplo, diferentes colores), y el estado de cada celda está determinado por sus celdas circundantes.

En nuestro ejemplo, cada celda puede ser negra o blanca. Comenzamos con una fila que contiene un solo cuadrado negro. En cada fila siguiente, el color de cada celda está determinado por las tres celdas inmediatamente anteriores. Toque las ocho opciones posibles a continuación para cambiar su color: ¿puede encontrar un conjunto de reglas que cree un patrón similar al triángulo de Sierpinski?

Hay dos opciones para cada una de las ocho opciones, lo que significa que hay 28= reglas posibles en total. Algunos, como , se parecen al triángulo de Sierpinski. Otros, como , parecen completamente caóticos. Fue descubierto por Stephen Wolfram en 1983, ¡y las computadoras incluso pueden usarlos para generar números aleatorios!

Los autómatas celulares muestran cómo se pueden crear patrones altamente complejos mediante reglas muy simples, al igual que los fractales. Muchos procesos en la naturaleza también siguen reglas simples, pero producen sistemas increíblemente complejos.

En algunos casos, esto puede conducir a la aparición de patrones que se parecen a los autómatas celulares, por ejemplo, los colores en el caparazón de este caracol.

Conus textile, un caracol de mar venenoso

Tetrahedra de Sierpinski

Hay muchas variantes del triángulo de Sierpinski y otros fractales con propiedades y procesos de creación similares. Algunos se ven bidimensionales, como la Alfombra Sierpinski que viste arriba. Otros se ven tridimensionales, como estos ejemplos:

Tetrahedra de Sierpinski

Pirámide de Sierpinski