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Transformaciones y SimetríaTransformaciones Rígidas

Tiempo de leer: ~30 min

Una transformación rígida es un tipo especial de transformación que no cambia el tamaño o la forma de una figura. Podríamos imaginar que está hecho de un material sólido como madera o metal: podemos moverlo, girarlo o voltearlo, pero no podemos estirarlo, doblarlo ni deformarlo.

¿Cuál de estas cinco transformaciones son rígidas?

Resulta que solo hay tres tipos diferentes de transformaciones rígidas:

Una transformación que simplemente mueve una forma se llama traslación .

Una transformación que voltea una forma se llama reflexión .

Una transformación que hace girar una forma se llama rotación .

También podemos combinar múltiples tipos de transformación para crear otros más complejos, por ejemplo, una traducción seguida de una rotación.

Pero primero, echemos un vistazo a cada uno de estos tipos de transformaciones con más detalle.

Traducciones

Una traslación es una transformación que mueve cada punto de una figura por la misma distancia en la misma dirección.

En el plano de coordenadas, podemos especificar una traslación por cuánto se mueve la forma a lo largo del eje x y el eje y . Por ejemplo, una transformación por (3, 5) mueve una forma por 3 a lo largo del eje xy por 5 a lo largo del eje y .

Traducido por ( , )

Traducido por ( , )

Traducido por ( , )

Ahora es tu turno: traduce las siguientes formas como se muestra:

Traducir por (3, 1)

Traducir por (–4, –2)

Traducir por (5, –1)

Reflexiones

Una reflexión es una transformación que "voltea" o "refleja" una forma a través de una línea. Esta línea se llama línea de reflexión .

Dibuje la línea de reflexión en cada uno de estos ejemplos:

Ahora es tu turno: dibuja el reflejo de cada una de estas formas:

Tenga en cuenta que si un punto se encuentra en la línea de reflexión, cuando se refleja: su imagen es el mismo punto que el original.

En todos los ejemplos anteriores, la línea de reflexión era horizontal, vertical o en un ángulo de 45°, lo que facilitaba dibujar los reflejos. Si ese no es el caso, la construcción requiere un poco más de trabajo:

Para reflejar esta forma a través de la línea de reflexión , tenemos que reflejar cada vértice individualmente y luego conectarlos nuevamente.

Elija uno de los vértices y dibuje la línea a través de este vértice que es perpendicular a la línea de reflexión.

Ahora podemos medir la distancia desde el vértice hasta la línea de la reflexión, y hacer que el punto que tiene la misma distancia en el otro lado. (Podemos usar una regla o una brújula para hacer esto).

Podemos hacer lo mismo para todos los otros vértices de nuestra forma.

Ahora solo tenemos que conectar los vértices reflejados en el orden correcto, ¡y hemos encontrado el reflejo!

Rotaciones

Una rotación es una transformación que "gira" una forma en cierto ángulo alrededor de un punto fijo. Ese punto se llama centro de rotación . Las rotaciones pueden ser en sentido horario o antihorario.

Intenta rotar las siguientes formas alrededor del centro de rotación rojo:

Gire 90° en sentido horario.

Rotar 180°.

Gire 90° en sentido antihorario.

Es más difícil dibujar rotaciones que no sean exactamente 90° o 180°. Intentemos rotar esta forma por ${10*ang}° alrededor del centro de rotación .

Al igual que para los reflejos, tenemos que rotar cada punto de una forma individualmente.

Comenzamos eligiendo uno de los vértices y dibujando una línea al centro de rotación.

Usando un transportador , podemos medir un ángulo de ${ang*10}° alrededor del centro de rotación. Dibujemos una segunda línea en ese ángulo.

Usando una brújula o regla, podemos encontrar un punto en esta línea que tenga la misma distancia desde el centro de rotación que el punto original.

Ahora tenemos que repetir estos pasos para todos los demás vértices de nuestra forma.

Y finalmente, como antes, podemos conectar los vértices individuales para obtener la imagen girada de nuestra forma original.

Las transformaciones son un concepto importante en muchas partes de las matemáticas, no solo en la geometría. Por ejemplo, puede transformar funciones cambiando o girando sus gráficos . También puede usar transformaciones para determinar si dos formas son congruentes .