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Círculos y PiSecciones cónicas

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El círculo es una de las cuatro formas diferentes que se pueden crear utilizando "cortes" a través de un cono <<<<. Esto se puede demostrar usando el cono de luz de una antorcha:

Circle

Ellipse

Parabola

Hyperbola

Si apuntas la antorcha verticalmente hacia abajo, verás un de luz. Si inclinas el cono, obtienes una elipse. Si lo inclina aún más, obtendrá una parábola o una hipérbola.

En conjunto, estas cuatro formas se denominan secciones cónicas. Aunque todos se ven muy diferentes, están estrechamente relacionados: de hecho, ¡todos se pueden generar utilizando la misma ecuación!

Las secciones cónicas fueron estudiadas por primera vez por el matemático griego antiguo Apolonio de Perga, quien también les dio sus nombres inusuales.

En cursos posteriores, aprenderá mucho más sobre parábolas e hipérbolas. Por ahora, echemos un vistazo más de cerca a la elipse.

Elipses

Una elipse se ve casi como un "círculo alargado". De hecho, podría pensarlo como un círculo con dos centros: estos se denominan puntos focales. Al igual que cada punto en un círculo tiene la misma distancia desde su centro, cada punto en una elipse tiene la misma suma de distancias a sus dos puntos focales.

Si tiene una cadena larga conectada a dos puntos fijos, puede dibujar una elipse perfecta trazando el alcance máximo de las cadenas:

Próximamente: Elipses de dibujo interactivo

Hay muchas otras representaciones físicas de cómo podrías dibujar una elipse:

Gears

Trammel

Disk

Swing

Órbitas planetarias

Quizás recuerdes desde el comienzo de este curso, que los antiguos astrónomos griegos creían que la Tierra está en el centro del universo y que el sol, la luna y los planetas se mueven alrededor de la Tierra en órbitas circulares.

Desafortunadamente, la observación astronómica del cielo no fue muy compatible con esto. Por ejemplo, el sol parecía más grande durante algunas partes del año y más pequeño durante otras. En un círculo, cada punto debe tener distancia desde su centro.

Astrónomo griego Hiparco de Nicea

Para solucionar esto, los astrónomos agregaron Epiciclos a su modelo del sistema solar: los planetas se mueven en un gran círculo alrededor de la Tierra, mientras que simultáneamente giran en un círculo más pequeño. Si bien es muy complicado, este fue el modelo más aceptado de nuestro universo durante más de 1000 años:

Este planeta realiza ${n} rotaciones alrededor del círculo pequeño (el epiciclo <<<<) durante una rotación alrededor del círculo grande (el deferente).

Un dibujo de epiciclos del siglo XVI en el modelo geocéntrico. La palabra griega "planetas" significa "vagabundos".

Con el tiempo, la gente se dio cuenta de que la Tierra era solo uno de los muchos planetas que orbitan alrededor del Sol (el modelo heliocéntrico), pero no fue sino hasta 1609 que el astrónomo Johannes Kepler descubrió que los planetas mover en realidad en órbitas elípticas.

El sol está en uno de los dos puntos focales de estas elipses. Los planetas se aceleran a medida que se acercan al sol y disminuyen la velocidad a medida que se alejan.

Algunas décadas más tarde, Isaac Newton pudo probar las observaciones de Kepler, utilizando sus leyes recientemente desarrolladas de gravedad. Newton se dio cuenta de que hay una fuerza entre dos masas en el universo, similar a la atracción entre dos imanes.

La gravedad es lo que hace que todo caiga al suelo y la gravedad también es lo que hace que los planetas se muevan alrededor del sol. Es solo la gran velocidad a la que se mueven los planetas, lo que les impide caer directamente al sol.

Frits Ahlefeldt

Usando las leyes de Newton, puede derivar el camino que toman los objetos cuando se mueven bajo la fuerza de la gravedad. Resulta que los planetas se mueven en elipses, pero otros objetos como los cometas pueden viajar en caminos parabólicos o hiperbólicos: vuelan cerca del sol antes de darse la vuelta y disparar al universo, nunca volver

Según la leyenda, una manzana que cae inspiró a Newton a pensar en la gravedad. Fue uno de los científicos más influyentes de todos los tiempos, y sus ideas dieron forma a nuestra comprensión del mundo durante casi 300 años, hasta que Albert Einstein descubrió la relatividad en 1905.