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Círculos y PiTangentes, acordes y arcos

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En las secciones anteriores, aprendió los nombres dados a varias partes diferentes de un círculo, como el centro, el radio, el diámetro y la circunferencia. Sin embargo, hay muchos elementos geométricos relacionados con un círculo, que tendremos que resolver problemas más complejos:

  • A secante es una línea que corta un círculo en dos puntos.
  • Un acorde es un segmento de línea cuyos puntos finales se encuentran en la circunferencia de un círculo.
  • Una tangente es una línea que toca un círculo exactamente en un punto. Esto se llama el punto de tangencia.
  • Un arco es una sección de la circunferencia de un círculo.
  • Un sector es una parte del interior de un círculo, delimitado por un arco y dos radios.
  • Finalmente, un segmento es parte del interior de un círculo, delimitado por un arco y un acorde.

En esta sección, veremos la relación entre todos estos elementos y probaremos teoremas sobre sus propiedades. No se preocupe por memorizar todas las definiciones por ahora; siempre puede usar el glosario.

Tangentes

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Arcos y sectores

La mayoría de los científicos en la antigua Grecia coincidieron en que la Tierra es una esfera. Había muchas pruebas: desde barcos que desaparecían detrás del horizonte en el mar, hasta el movimiento circular de las estrellas durante la noche.

Desafortunadamente, nadie sabía exactamente cuán grande era la Tierra, hasta alrededor del 200 a. C., cuando el matemático Eratóstenes encontró una manera ingeniosa de medir el radio de la Tierra, usando geometría básica. Todo lo que necesitamos es un poco más de conocimiento sobre arcos y sectores de un círculo.

Como puede ver en el diagrama, un arco es parte de la de un círculo, y un sector es una parte del de un círculo.

El arco entre dos puntos A y B a menudo se escribe como AB. Esta definición es ligeramente ambigua: hay un segundo arco que conecta A y B pero da la vuelta al círculo.

El más pequeño de los dos arcos se llama arco menor, y el más grande se llama arco mayor. Si los puntos A y B son exactamente opuestos, ambos arcos tienen la misma longitud y son .

Para encontrar la longitud de un arco o el área de un sector, necesitamos saber sobre el ángulo correspondiente en el centro del círculo: esto se llama ángulo central.

Observe cómo el arco, el sector y el ángulo ocupan la misma proporción de un círculo completo. Por ejemplo, si el ángulo central es , ocupa de un círculo completo.

y cinco

Esto significa que la longitud del arco también es 14 de la circunferencia entera del círculo, y el área del El sector es 14 del área entera del círculo.

Podemos expresar esta relación en una ecuación:

arc lengthcircumference=circle area=central angle

Ahora podemos reorganizar estas ecuaciones para encontrar la variable que nos interese. Por ejemplo,

longitud de arco=circumference×c360
=2πr×c360
área del sector=circle area×c360
=πr2×c360

donde r es el radio del círculo y c es el tamaño del ángulo central.

Si el ángulo central se mide en radianes en lugar de grados, podemos usar las mismas ecuaciones, pero tenemos que reemplazar 360 ° con :

longitud del arco=2πr×c2π
=r×c
área del sector=πr2×c2π
=12r2c

Observe cómo las ecuaciones se vuelven mucho más simples y π se cancela en todas partes. Esto se debe a que, como recordarán, la definición de radianes es básicamente la longitud de un arco en un círculo con radio 1.

Ahora veamos cómo podemos usar arcos y sectores para calcular la circunferencia de la Tierra.

En el antiguo Egipto, la ciudad de Swenet estaba ubicada a lo largo del río Nilo. Swenet era famoso por un pozo con una propiedad curiosa: había un momento cada año cuando la luz del sol llegaba al fondo del pozo: al mediodía del 21 de junio, el día del solsticio de verano. En ese momento preciso, el fondo del pozo estaba iluminado, pero no sus lados, lo que significa que el Sol estaba parado directamente sobre el pozo.

Los antiguos egipcios midieron largas distancias contando la cantidad de pasos que dio para caminar.

Algunas fuentes dicen que el "Pozo de Eratóstenes" estaba en Isla Elefantina en el río Nilo.

El matemático Eratóstenes vivió en Alejandría, a unos 800  km al norte de Swenet, donde fue director de la Gran Biblioteca. En el centro de la ciudad de Alejandría había un obelisco, un monumento alto y estrecho con una parte superior en forma de pirámide.

Eratóstenes notó que al mediodía del día del solsticio de verano, el obelisco arrojaba una sombra, lo que significa que el sol estaba no directamente encima de él. Él dedujo que esto se debía a la curvatura de la Tierra, y se dio cuenta de que podría usarse para calcular la circunferencia de nuestro planeta.

Aquí puedes ver el pozo en Swenet y el obelisco en Alejandría. Los rayos del sol caen directamente en el pozo, pero golpean el obelisco en ángulo y proyectan una sombra.

Eratóstenes midió que el ángulo de la sombra era 7.2 °. Esto es lo mismo que el ángulo central del arco de Alejandría a Swenet, porque son .

Ahora podemos usar la ecuación para la longitud del arco que derivamos arriba:

arc lengthcircumference=°360°

Si reorganizamos esto, encontramos que la circunferencia de la Tierra es

circumference=360°7.2°×800 km=km

Finalmente, sabemos que la circunferencia de un círculo es C=2πr, por lo que el radio de la Tierra es

rEarth=40000km2π6400km.

La medición de Eratóstenes fue uno de los experimentos más importantes en la antigüedad. Su estimación del tamaño de la Tierra fue sorprendentemente precisa, especialmente al considerar que solo tenía acceso a herramientas de medición muy básicas.

Por supuesto, puede ser difícil traducir sus resultados originales en unidades modernas como kilómetros. En la antigua Grecia, la distancia se midió en estadios (aproximadamente 160 m), pero no había un estándar universal. Cada área tenía una versión ligeramente diferente, y no sabemos cuál utilizó Eratóstenes.

En los siglos siguientes, los científicos trataron de usar otros métodos para calcular el radio de la Tierra, a veces con resultados muy diferentes e incorrectos.

Fue una de estas medidas incorrectas lo que llevó a Cristóbal Colón a navegar hacia el oeste desde Portugal. Supuso que la Tierra era mucho más pequeña de lo que realmente es, y esperaba llegar a la India. De hecho, llegó a un continente diferente en el medio: las Américas.

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