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Tiếng ViệtCírculos y PiTangentes, cuerdas y arcos
En las secciones anteriores, has aprendido los nombres de algunas partes de un círculo, como el centro, el radio, el diámetro y la circunferencia. Sin embargo, hay muchos elementos geométricos relacionados con un círculo, que usaremos al resolver problemas más complejos:
- Una recta secante es una línea que corta una circunferencia en dos puntos.
- Una cuerda es un segmento rectilíneo cuyos puntos extremos se encuentran en la circunferencia.
- Una recta tangente es una línea que toca a la circunferencia exactamente en un punto. Este punto se llama el punto de tangencia.
- Un arco es una sección de la circunferencia de un círculo.
- Un sectorcircular es una parte de un círculo, delimitado por un arco y dos radios.
- Finalmente, un segmentocircular es parte del interior de un círculo, delimitado por un arco y una cuerda.
En esta sección, veremos la relación entre todos estos elementos y probaremos teoremas sobre sus propiedades. No hace falta que memorices todas las definiciones ahora; siempre puedes usar el
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Arcos y sectores circulares
La mayoría de los científicos de la antigua Grecia coincidieron en decir que la Tierra es una esfera. Tenían muchas pruebas: desde barcos que desaparecían detrás del horizonte en el mar, hasta el movimiento circular de las estrellas durante la noche.
Desafortunadamente, nadie sabía exactamente cuán grande era la Tierra, hasta que, alrededor del 200 a. C., el matemático
Como puedes ver en el diagrama, un arco es parte de la
El arco entre dos puntos A y B a menudo se escribe como
El más pequeño de los dos arcos se llama arco menor, y el más grande se llama arco mayor. Si los puntos A y B son exactamente opuestos, ambos arcos tienen la misma longitud y son
Para calcular la longitud de un arco o el área de un sector circular, necesitamos conocer el ángulo correspondiente formado en el centro del círculo: este ángulo se llama ángulo central.
Observa cómo el arco, el sector y el ángulo ocupan la misma proporción de un círculo completo. Por ejemplo, si el ángulo central es , ocupa
Esto significa que la longitud del arco también es
Podemos expresar esta relación en una ecuación:
Ahora podemos reorganizar estas ecuaciones para encontrar la variable que nos interese. Por ejemplo,
| longitud de arco | = |
| área del sector | = |
donde r es el radio del círculo y c es el tamaño del ángulo central.
Si el ángulo central se mide en
| longitud del arco | = |
| área del sector | = |
Observa cómo las ecuaciones se vuelven mucho más simples y π se simplifica en todas partes. Esto se debe a que, como recordarás, la definición de radianes es básicamente la longitud de un arco en un círculo con radio 1.
Ahora veamos cómo podemos usar arcos y sectores circulares para calcular la circunferencia de la Tierra.
En el antiguo Egipto, la ciudad de Swenet estaba ubicada a lo largo del río Nilo. Swenet era famosa por tener un pozo con una propiedad curiosa: había un momento cada año en el que la luz del sol llegaba al fondo del pozo: el mediodía del 21 de junio, el día del solsticio de verano. En ese momento preciso, el fondo del pozo se iluminaba, pero no se iluminaban sus paredes, lo que significa que el Sol estaba posicionado directamente en la vertical sobre el pozo.
Los antiguos egipcios midieron largas distancias contando la cantidad de pasos que daban al caminar.
Algunas fuentes dicen que el "Pozo de Eratóstenes" estaba en Isla Elefantina en el río Nilo.
El matemático
Eratóstenes notó que al mediodía del día del solsticio de verano, el obelisco arrojaba una sombra, lo que significaba que el sol no estaba directamente en la vertical encima de él. Él dedujo que esto se debía a la curvatura de la Tierra, y se dio cuenta de que podría usarse para calcular la longitud de circunferencia de nuestro planeta.
Aquí puedes ver el pozo de Swenet y el obelisco de Alejandría. Los rayos del sol caen directamente en el pozo, pero golpean el obelisco formando un ángulo y proyectan una sombra.
Eratóstenes midió el ángulo que hacían los rayos del sol al proyectar la sombra:era 7.2 °. Este ángulo es igual que el ángulo central del arco de Alejandría a Swenet, porque son
Ahora podemos usar la ecuación para la longitud del arco que dedujimos arriba:
Si reorganizamos esto, obtenemos que la circunferencia de la Tierra es
Finalmente, sabemos que la circunferencia de un círculo es
La medición de Eratóstenes fue uno de los experimentos más importantes de la antigüedad. Su estimación del tamaño de la Tierra fue sorprendentemente precisa, especialmente al considerar que solo tenía acceso a herramientas de medición muy básicas.
Por supuesto, puede ser difícil traducir sus resultados originales a unidades modernas como kilómetros. En la antigua Grecia, las distancias se medían en estadios (aproximadamente 160 m), pero no había una medida estándar universal. Cada zona tenía una versión ligeramente diferente, y no sabemos cuál es la que utilizó Eratóstenes.
En los siglos siguientes, los científicos trataron de usar otros métodos para calcular el radio de la Tierra, a veces con resultados muy diferentes e incorrectos.
Fue una de estas medidas incorrectas lo que llevó a Cristóbal Colón a navegar hacia el oeste desde Portugal. Supuso que la Tierra era mucho más pequeña de lo que realmente es, y esperaba llegar a la India. De hecho, llegó a un continente diferente a medio camino: las Américas.
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