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Círculos y PiGrados y radianes

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Hasta ahora en geometría, siempre hemos medido ángulos en grados. Una rotación círculo completo es °, un semicírculo es °, un cuarto de círculo es °, y así sucesivamente.

El número 360 es muy conveniente porque es divisible por muchos otros números: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, y así sucesivamente. Esto significa que muchas fracciones de un círculo también son números enteros. ¿Pero alguna vez te has preguntado de dónde viene el número 360?

Resulta que 360 grados son uno de los conceptos más antiguos en matemáticas que todavía usamos hoy. ¡Se desarrollaron en la antigua Babilonia, hace más de 5000 años!

En ese momento, una de las aplicaciones más importantes de las matemáticas fue en astronomía. El sol determina las cuatro estaciones, que los agricultores deben conocer al cultivar. De manera similar, la luna determina las mareas, lo cual fue importante para los pescadores. La gente también estudió las estrellas para predecir el futuro o para comunicarse con los dioses.

Una tableta babilónica para calcular 2

Los astrónomos notaron que las constelaciones visibles a una hora específica durante la noche cambiaban un poquito cada día, hasta que, después de aproximadamente 360 días, habían vuelto a su punto de partida. Y esta podría haber sido la razón por la cual dividieron el círculo en 360 grados.

Midnight on day ${day}

Por supuesto, en realidad hay 365 días en un año (bueno, 365.242199 para ser exactos), pero los matemáticos babilónicos trabajaron con relojes de sol simples, y esta aproximación fue perfectamente adecuada.

También funcionó bien con su sistema de números base 60 existente (desde 6×60=360). Este sistema es la razón por la que todavía tenemos 60 segundos en un minuto y 60 minutos en una hora, a pesar de que la mayoría de las otras unidades se miden en base 10 (por ejemplo, 10 años en una década o 100 años en un siglo).

Para muchos de nosotros, medir ángulos en grados es una segunda naturaleza: hay un video de 360 °, los patinadores pueden tirar de 540 segundos, y alguien que cambie su decisión podría hacer un giro de 180 °. Pero desde un punto de vista matemático, la elección de 360 es completamente arbitraria. Si viviéramos en Marte, un círculo podría tener 670 °, y un año en Júpiter incluso tiene 10,475 días.

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El 540 McFlip, una rotación de 540 °

Radianes

En lugar de dividir un círculo en algún número de segmentos (como 360 grados), los matemáticos a menudo prefieren mida los ángulos usando la circunferencia de un círculo unitario (un círculo con radio 1).

A tiene circunferencia .

Para una , la distancia correspondiente a lo largo de la circunferencia es .

Para un , la distancia a lo largo de la circunferencia es .

Y así sucesivamente: esta forma de medir ángulos se llama radianes (puede recordar esto como "unidades de radio").

Cada ángulo en grados tiene un tamaño equivalente en radianes. La conversión entre los dos es muy fácil, al igual que puede convertir entre otras unidades como metros y kilómetros, o Celsius y Fahrenheit:

360 ° = 2 π rad


1 ° = rad


1 rad = °

puede escribir el valor en radianes como un múltiplo de π, o como un solo número decimal. ¿Puedes completar esta tabla de ángulos equivalentes en grados y radianes? El

grados060180
radianes0232π

Distancia recorrida

Puedes pensar en radianes como la "distancia recorrida" a lo largo de la circunferencia de un círculo unitario. Esto es particularmente útil cuando se trabaja con objetos que se mueven en una trayectoria circular.

Por ejemplo, la Estación Espacial Internacional orbita la Tierra una vez cada 1.5 horas. Esto significa que su velocidad de rotación es radianes por hora.

En un círculo de unidad, la velocidad de rotación es la misma que la velocidad real, porque la longitud de la circunferencia es la misma que una rotación completa en radianes (ambas son 2π).

El radio de la órbita de la ISS es 6800  km, lo que significa que la velocidad real de la ISS tiene que ser = 28483 km por hora.

${round(p*1.5,1)}h

¿Puedes ver que, en este ejemplo, los radianes son una unidad mucho más conveniente que los grados? Una vez que conocemos la velocidad de rotación, simplemente tenemos que multiplicar por el radio para obtener la velocidad real. Aquí hay otro ejemplo: su automóvil tiene ruedas con radio de 0.25  m. Si conduce a una velocidad de 20  m / s, las ruedas de su automóvil giran a radianes por segundo (o 802π=13 rotaciones por segundo).

Trigonometría

Para la mayoría de los problemas de geometría simples, los grados y radianes son completamente intercambiables: puedes elegir cuál prefieres o una pregunta puede decirte en qué unidad dar tu respuesta. Sin embargo , una vez que estudie la trigonometría o el cálculo más avanzados, resulta que los radianes son mucho más convenientes que los grados.

La mayoría de las calculadoras tienen un botón especial para cambiar entre grados y radianes. Las funciones trigonométricas como sin, cos y tan toman ángulos como entrada y sus funciones inversas arcsin, arccos y arctan devuelven ángulos como salida. La configuración actual de la calculadora determina qué unidades se utilizan para estos ángulos. Intente usar esta calculadora para calcular que {.text-center} sin (30 °) = cos (1 °) =
sin (30 rad) = cos (1 rad) =

DEG
7
8
9
sin
4
5
6
cos
1
2
3
tan
0
.
C
mode

El uso de radianes tiene una ventaja particularmente interesante cuando se usa la función Seno. Si θ es un ángulo muy pequeño (menos de 20 ° o 0.3 rad), entonces sinθθ. Por ejemplo,

sin (${x}) ${sin(x)} ...

Esto se llama aproximación de ángulo pequeño, y puede simplificar enormemente ciertas ecuaciones que contienen funciones trigonométricas. Aprenderá mucho más sobre esto en el futuro.

Archie