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Círculos y PiGrados y radianes

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Hasta ahora en geometría, siempre hemos medido ángulos en grados. Una rotación círculo completo son °, un semicírculo son °, un cuarto de círculo son °, y así sucesivamente.

El número 360 es muy adecuado porque es divisible entre muchos otros números: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, y así sucesivamente. Esto significa que muchas fracciones de un círculo también se pueden representar con números enteros. ¿Pero alguna vez te has preguntado de dónde viene el número 360?

Los 360 grados son uno de las herramientas más antiguas en matemáticas que todavía usamos hoy. ¡Se desarrollaron en la Antigua Babilonia, hace más de 5000 años!

En ese momento, una de las aplicaciones más importantes de las matemáticas era en astronomía. Como sabes, el sol determina las cuatro estaciones, que los agricultores deben conocer para cultivar. De manera similar, la luna determina las mareas, lo que es importante para los pescadores. Por entonces, la gente también estudiaba las estrellas para predecir el futuro o para comunicarse con los dioses.

Una tablet babilónica para calcular 2

Los astrónomos se dieron cuenta de que las constelaciones visibles a una hora específica durante la noche cambiaban un poquito cada día, hasta que, después de aproximadamente 360 días, volvían a su punto de partida. Esta podría ser la razón por la que dividieron el círculo en 360 grados.

Midnight on day ${day}

Es verdad que en el año que usamos en la actualidad hay 365 días (bueno, 365.242199 para ser exactos), pero los matemáticos babilónicos trabajaban con relojes de sol muy sencillos, y esta aproximación era perfectamente adecuada.

Esto también encajaba bien con su sistema de numeración de base 60 (ya que 6x60=360). De este sistema sexagesimal proviene el que tengamos 60 segundos en un minuto y 60 minutos en una hora, a pesar de que la mayoría de las otras unidades de tiempo se midan en base 10 (por ejemplo, 10 años en una década o 100 años en un siglo).

En nuestro lenguaje ordinarioa, las medidas de ángulos en grados aparece de forma natural en muchas expresiones: desde aquí hay una vista de 360 °,un patinador puede hacer una rotación de 540º y alguien que cambie de decisión podría dar un giro de 180 °. Pero desde un punto de vista matemático, la elección de 360 es completamente arbitraria. Si viviéramos en Marte, un círculo podría tener 670 °, y un año en Júpiter incluso tiene 10,475 días.

El 540 McFlip, una rotación de 540 °

Radianes

A pesar de la utilidad que hemos visto de las medidas en grados, los matemáticos prefieren usar una medida de ángulos que se basa en la circunferencia de un [círculo unitario] (de radio 1)en vez de hacerlo dividiendo el círculo en cierto número de partes iguales (como por ejemplo los360 grados)

Un tiene circunferencia .

Para una , la distancia correspondiente a lo largo de la circunferencia es .

Para un , la distancia a lo largo de la circunferencia es .

Y así sucesivamente. Esta unidad de medida de ángulos se llama radianes (puede servirte para recordarlo pensar en "unidades de radio").

Cualquier ángulo medido en grados tiene una medida equivalente en radianes. La conversión de unos a otros es muy fácil, al igual que puede convertir entre otras unidades como metros y kilómetros, o Celsius y Fahrenheit:

360 ° = 2 π rad


1 ° = rad


1 rad = °

Las medidas en radianes pueden escribirse como un múltiplo de π, o como un solo número decimal. ¿Puedes completar esta tabla de ángulos equivalentes en grados y radianes? El

| grados | 0 | 60 | | 180 | | | radianes | 0 | | 2 | | 32π | {.table-small.grid}

Distancia recorrida

Puedes pensar en radianes como la "distancia recorrida" a lo largo de la circunferencia de un círculo unitario. Esto es particularmente útil cuando se trabaja con objetos que se mueven en una trayectoria circular.

Por ejemplo, la Estación Espacial Internacional tarda 1.5 horas en dar una vuelta a la órbita la Tierra.Esto significa que su velocidad de rotación es radianes por hora.

En un círculo unitario, la velocidad de rotación es la misma que la velocidad lineal, porque la longitud de la circunferencia es la misma que una rotación completa en radianes (ambas son 2π).

El radio de la órbita de la ISS es 6800  km, lo que significa que la velocidad lineal de la ISS tiene que ser = 28483 km por hora.

${round(p*1.5,1)}h

¿Puedes ver que, en este ejemplo, los radianes son una unidad mucho más conveniente que los grados? Una vez que conocemos la velocidad de rotación, simplemente tenemos que multiplicar por el radio para obtener la velocidad lineal. Aquí hay otro ejemplo: tu coche tiene ruedas con radio de 0.25  m. Si conduces a una velocidad de 20  m / s, las ruedas de su automóvil giran a radianes por segundo (o 802π=13 rotaciones por segundo).

Trigonometría

Para la mayoría de los problemas de geometría simples, los grados y radianes son completamente intercambiables: puedes elegir con cuál prefieres trabajar o usar la unidad de medida que se te pida en la pregunta. Sin embargo, cuando estudies trigonometría o el cálculo más avanzados, verás que los radianes son mucho más convenientes que los grados.

La mayoría de las calculadoras tienen un botón especial para cambiar entre grados y radianes. Las funciones trigonométricas como sin, cos y tan toman ángulos como entrada y sus funciones inversas arcsin, arccos y arctan devuelven ángulos como salida. La configuración actual de la calculadora determina qué unidades se utilizan para estos ángulos. Intenta usar esta calculadora para calcular que {.text-center} sin (30 °) = cos (1 °) =
sin (30 rad) = cos (1 rad) =

DEG
7
8
9
sin
4
5
6
cos
1
2
3
tan
0
.
C
mode

El uso de radianes tiene una ventaja particularmente interesante cuando se usa la función Seno. Si θ es un ángulo muy pequeño (menos de 20 ° o 0.3 rad), entonces sinθθ. Por ejemplo,

sin (${x}) ${sin(x)} ...

Esto se llama aproximación de ángulo pequeño, y puede simplificar enormemente ciertas ecuaciones que contienen funciones trigonométricas. Aprenderás mucho más sobre esto en el futuro.

Archie