Círculos y PiGrados y radianes

Hasta ahora en geometría, siempre hemos medido ángulos en grados. Una rotación círculo completo son °, un semicírculo son °, un cuarto de círculo son °, y así sucesivamente.

El número 360 es muy adecuado porque es divisible entre muchos otros números: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, y así sucesivamente. Esto significa que muchas fracciones de un círculo también se pueden representar con números enteros. ¿Pero alguna vez te has preguntado de dónde viene el número 360? Continuar

Los astrónomos se dieron cuenta de que las constelaciones visibles a una hora específica durante la noche cambiaban un poquito cada día, hasta que, después de aproximadamente 360 días, volvían a su punto de partida. Esta podría ser la razón por la que dividieron el círculo en 360 grados.

Es verdad que en el año que usamos en la actualidad hay 365 días (bueno, 365.242199 para ser exactos), pero los matemáticos babilónicos trabajaban con relojes de sol muy sencillos, y esta aproximación era perfectamente adecuada.

Esto también encajaba bien con su sistema de numeración de base 60 (ya que 6x60=360). De este sistema sexagesimal proviene el que tengamos 60 segundos en un minuto y 60 minutos en una hora, a pesar de que la mayoría de las otras unidades de tiempo se midan en base 10 (por ejemplo, 10 años en una década o 100 años en un siglo).

Radianes

A pesar de la utilidad que hemos visto de las medidas en grados, los matemáticos prefieren usar una medida de ángulos que se basa en la circunferencia de un [círculo unitario] (de radio 1)en vez de hacerlo dividiendo el círculo en cierto número de partes iguales (como por ejemplo los360 grados)

Cualquier ángulo medido en grados tiene una medida equivalente en radianes. La conversión de unos a otros es muy fácil, al igual que puede convertir entre otras unidades como metros y kilómetros, o Celsius y Fahrenheit:

360 ° = 2 π rad

Las medidas en radianes pueden escribirse como un múltiplo de π, o como un solo número decimal. ¿Puedes completar esta tabla de ángulos equivalentes en grados y radianes? El

| grados | 0 | 60 | | 180 | | | radianes | 0 | | 2 | | 32π | {.table-small.grid}

Distancia recorrida

Puedes pensar en radianes como la "distancia recorrida" a lo largo de la circunferencia de un círculo unitario. Esto es particularmente útil cuando se trabaja con objetos que se mueven en una trayectoria circular.

¿Puedes ver que, en este ejemplo, los radianes son una unidad mucho más conveniente que los grados? Una vez que conocemos la velocidad de rotación, simplemente tenemos que multiplicar por el radio para obtener la velocidad lineal. Aquí hay otro ejemplo: tu coche tiene ruedas con radio de 0.25  m. Si conduces a una velocidad de 20  m / s, las ruedas de su automóvil giran a 200.25=8020×0.25=50.2550=0.0125 radianes por segundo (o 802π=13 rotaciones por segundo).

Trigonometría

Para la mayoría de los problemas de geometría simples, los grados y radianes son completamente intercambiables: puedes elegir con cuál prefieres trabajar o usar la unidad de medida que se te pida en la pregunta. Sin embargo, cuando estudies trigonometría o el cálculo más avanzados, verás que los radianes son mucho más convenientes que los grados.

El uso de radianes tiene una ventaja particularmente interesante cuando se usa la función Seno. Si θ es un ángulo muy pequeño (menos de 20 ° o 0.3 rad), entonces sinθ≈θ. Por ejemplo,

sin (${x}) ≈ ${sin(x)} ...

Esto se llama aproximación de ángulo pequeño, y puede simplificar enormemente ciertas ecuaciones que contienen funciones trigonométricas. Aprenderás mucho más sobre esto en el futuro.