Círculos y PiIntroducción

Desde los inicios, el ser humano ha mirado al cielo y ha tratado de explicar la vida en la Tierra usando el movimiento de las estrellas, los planetas y la luna.

Los antiguos astrónomos griegos fueron los primeros en descubrir que todos los objetos celestes se mueven siguiendo trayectorias regulares llamadas órbitas. Creían que estas órbitas eran siempre circulares o circunferencias. Después de todo, las circunferencias son las formas "más perfectas": simétricas en todas sus direcciones y, por lo tanto, una elección adecuada para describir el orden subyacente de nuestro universo.

La Tierra está en el centro del universo ptolemaico.

Todos los puntos de una círcunferencia

están a la misma distancia de su centro. Por ello podemos usar un compás para dibujaros todos:

La porciñon del plano que esta contenida dentro de una circunferencia se llama círculo. Hay tres medidas importantes relacionadas con los círculos que debes conocer:

El radio es la distancia desde el centro de un círculo hasta cualquier punto de la circunferencia que lo delimita.
El diámetro es la distancia entre dos puntos opuestos de una circunferencia. Atraviesa el centro del círculo, y su longitud es ???
el radio.
La longitud de la circunferencia (o perímetro) es la distancia que hay al dar una vuelta completa alrededor del círculo.

Una propiedad importante de los círculos es que todos los círculos son semejantes

. Puede verlo porque todos los círculos se pueden transformar unos en otros usando solamente traslaciones y dilataciones:

Debes recordar que, en polígonos semejantes, la relación o razón entre los lados correspondientes es siempre constante. Algo parecido ocurre con todos los círculos: la relación entre la longitud de la circunferencia

y su diámetro es la misma para todos los círculos. Ese valor es siempre es 3.14159 ... - un número misterioso llamado Pi, que a menudo se escribe usando la letra griega π para "p". Pi tiene infinitas cifras decimales que ni siguen ningún patrón específico:

Aquí hay una rueda con diámetro 1. A medida que se "desenrolla" la circunferencia, puedes ver que su longitud es exactamente ???

Dado un círculo con diámetro d, la longitud de su circunferencia es C=π×d. De la misma manera, dado un círculo con radio

r, la longitud de su circunferencia es

C= ???

Los círculos son perfectamente simétricos y no tienen "puntos débiles" como los vértices de un polígono. Esta es una de las razones por las que las podemos encontrar en todas partes en la naturaleza:

Flores

Planetas

Árboles

Fruta

pompas de jabón

Y hay muchos otros ejemplos: desde el arcoiris hasta las ondas en el agua. ¿Se te ocurre algo más?

También se cumple que un círculo es la forma geométrica con mayor área encerrada en una longitud de perímetro dado. Por ejemplo, si tienes una cuerda de 100 m de longitud, puedes disponerla formando distintas formas (cuadrados, rectángulos, triángulos…). Entre todas esas formas la que encierra la mayor superficie con los 100m de perímetro, es la circunferencia. La superficie encerrada, se llama círculo. En la naturaleza, los objetos “redondos” como gotas de agua o burbujas de aire pueden ahorrar energía volviéndose circulares o esféricas, y reduciendo su superficie exterior.

Triángulo

Cuadrado

Pentágono

Círculo

Circunferencia = 100, Área =

El área de un círculo

Pero, ¿cómo calculamos realmente el área de un círculo? Probemos la misma técnica que utilizamos para encontrar el área de cuadriláteros: cortamos la forma en varias partes y luego las reorganizamos formando una figura de la que ya sabemos calcular su área (por ejemplo, un rectángulo o un triángulo).

La única diferencia es que, debido a que los círculos son curvos, tenemos que usar algunas aproximaciones:

Aquí puedes ver un círculo dividido en cuñas. Mueve el control deslizante para colocar las cuñas formando una fila.

Si aumentamos el número de cuñas a

, esta forma comienza a parecerse cada vez más a un ???.

La altura del rectángulo es igual al ???

del círculo. El ancho del rectángulo es igual a ??? del círculo. (Observa cómo la mitad de las cuñas están boca abajo y la otra mitad boca arriba)

Por lo tanto, el área total del rectángulo es aproximadamente A=πr2.

Aquí puedes ver un círculo dividido en anillos. Como antes, puedes mover el control deslizante para "desenrollar" los anillos.

Si aumentamos el número de anillos a

, esta forma comienza a parecerse cada vez más a un ???.

La altura del triángulo es igual al ???

del círculo. La base del triángulo es igual ??? del círculo. Por lo tanto, el área total del triángulo es aproximadamente

A=12base×height=πr2.

Si pudiéramos usar infinitos anillos o cuñas, las aproximaciones anteriores serían perfectas, y ambas nos dan la misma fórmula para el área de un círculo:

A=πr2.

Calculando Pi

Como vimos anteriormente, π=3.1415926… no es un número racional, y sus cifras decimales continúan siempre, sin ningún patrón repetitivo. Los números con esta propiedad se denominan números irracionales

, lo que significa que π no se puede expresar como una fracción ab.

Esto también quiere decir que nunca podemos escribir todas las cifras de Pi; ya que hay infinitas. Los antiguos matemáticos griegos y chinos calcularon las primeras cuatro cifras decimales de Pi usando polígonos regulares para aproximar círculos. Observa cómo, a medida que se añaden más lados, el polígono comienza a parecerse ???

a una circunferencia:

NASA

En 1665, Isaac Newton

logró calcular 15 dígitos. Hoy, podemos usar computadoras potentes para calcular el valor de Pi con una precisión mucho mayor.

El registro actual es de 31,4 billones de dígitos. Un libro impreso que contenga todos estos dígitos tendría aproximadamente 400 km de espesor, ¡esa es la altura a la que la Estación Espacial Internacional

orbita alrededor de la Tierra!

Por supuesto, no necesitas recordar tantos dígitos de Pi. De hecho, la fracción 227=3.142… es una gran aproximación.

Una forma de aproximarse a Pi es usar sucesiones infinitas de números. Aquí hay un ejemplo que fue descubierto por Gottfried Wilhelm Leibniz

en 1676:

π=41−43+45−47+49−4+…

A medida que calculamos más y más términos de esta sucesión, siempre siguiendo el mismo patrón, el resultado se acercará cada vez más a Pi.

Muchos matemáticos creen que Pi tiene una propiedad aún más curiosa: que es un número normal. Esto significa que las cifras del 0 al 9 aparecen completamente al azar, como si la naturaleza hubiera lanzado un dado de 10 lados infinitas veces, para determinar el valor de Pi.

Aquí puedes ver las primeras 100 cifras de Pi. Muévete sobre alguna de las celdas para ver cómo se distribuyen las cifras.

…

Si Pi es normal, significa que puedes pensar en cualquier cadena de cifras, y aparecerá en algún lugar entre las infinitas cifras de Pi. Aquí puedes buscar el primer millón de cifras de Pi: ¿puedes encontrar la fecha de tu cumpleaños?

One Million Digits of Pi

Search for a string of digits:

Podríamos incluso convertir un libro completo, como Harry Potter, en una cadena muy larga de números (a = 01, b = 02, etc.). Si Pi es normal, esta cadena aparecerá en algún lugar entre sus cifras, pero nos llevaría millones de años calcular suficientes cifras como para encontrarla.

Pi es fácil de entender, pero tiene una importancia fundamental en ciencias y en matemáticas. Esa podría ser una de las razones por las que Pi se ha vuelto inusualmente popular en nuestra cultura (al menos, en comparación con otros temas de matemáticas):

Pi is the secret combination for the tablet in “Night at the Museum 2”.

Professor Frink (“Simpsons”) silences a room of scientists by saying that Pi equals 3.

Spock (“Star Trek”) disables an evil computer by asking it to calculate the last digit of Pi.

También hay un día de Pi cada año, que cae el 14 de marzo, porque π≈3.14, o el 22 de julio, porque π≈227.