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Círculos y PiIntroducción

Tiempo de leer: ~35 min

Mientras existan los humanos, hemos mirado al cielo y hemos tratado de explicar la vida en la Tierra usando el movimiento de las estrellas, los planetas y la luna.

Los antiguos astrónomos griegos fueron los primeros en descubrir que todos los objetos celestes se mueven en caminos regulares, llamados órbitas. Creían que estas órbitas son siempre circulares. Después de todo, los círculos son las formas "más perfectas": simétricas en todas las direcciones y, por lo tanto, una elección adecuada para el orden subyacente de nuestro universo.

La Tierra está en el centro del universo ptolemaico.

Cada punto en un círculo tiene la misma distancia desde su centro. Esto significa que se pueden dibujar con una compás:

Hay tres medidas importantes relacionadas con los círculos que debes saber:

  • El radio de es la distancia desde el centro de un círculo hasta su borde exterior.
  • El diámetro es la distancia entre dos puntos opuestos en un círculo. Atraviesa su centro y su longitud es el radio.
  • La circunferencia (o perímetro) es la distancia alrededor de un círculo.

Una propiedad importante de los círculos es que todos los círculos son similares. Puede demostrarlo mostrando cómo se pueden combinar todos los círculos usando simplemente traslaciones y dilataciones:

Puede recordar que, para polígonos similares, la relación entre los lados correspondientes es siempre constante. Algo similar funciona para los círculos: la relación entre la circunferencia y el diámetro es igual para todos los círculos. Siempre es 3.14159 ... - un número misterioso llamado Pi, que a menudo se escribe como la letra griega π para "p". Pi tiene infinitos dígitos decimales que duran para siempre sin ningún patrón específico:

Aquí hay una rueda con diámetro 1. A medida que "desenrolla" la circunferencia, puede ver que su longitud es exactamente :

01234π

Para un círculo con diámetro d, la circunferencia es C=π×d. De manera similar, para un círculo con radio r, la circunferencia es

C= .

Los círculos son perfectamente simétricos y no tienen "puntos débiles" como las esquinas de un polígono. Esta es una de las razones por las cuales se pueden encontrar en todas partes en la naturaleza:

Flores

Planetas

Árboles

Fruta

pompas de jabón

Y hay muchos otros ejemplos: desde arcoiris hasta ondas de agua. ¿Puedes pensar en algo más?

También resulta que un círculo es la forma con el área más grande para una circunferencia dada. Por ejemplo, si tiene una cuerda de 100  m de longitud, puede usarla para encerrar el espacio más grande si forma un círculo (en lugar de otras formas como un rectángulo o un triángulo).

En la naturaleza, los objetos como gotas de agua o burbujas de aire pueden ahorrar energía volviéndose circulares o esféricas, y reduciendo su área de superficie.

Triángulo
Cuadrado
Pentágono
Círculo

Circunferencia = 100, Área = ${area}

El área de un círculo

Pero, ¿cómo calculamos realmente el área de un círculo? Probemos la misma técnica que utilizamos para encontrar el área de cuadriláteros: cortamos la forma en varias partes diferentes y luego las reorganizamos en una forma diferente de la que ya conocemos el área (por ejemplo, un rectángulo o un triángulo) .

La única diferencia es que, debido a que los círculos son curvos, tenemos que usar algunas aproximaciones:

rπr

Aquí puede ver un círculo dividido en ${toWord(n1)} cuñas. Mueva el control deslizante para alinear las cuñas en una fila.

Si aumentamos el número de cuñas a ${n1}, esta forma comienza a parecerse cada vez más a un .

La altura del rectángulo es igual al del círculo. El ancho del rectángulo es igual a del círculo. (Observe cómo la mitad de las cuñas están boca abajo y la otra mitad de ellas arriba)

Por lo tanto, el área total del rectángulo es aproximadamente A=πr2.

r2πr

Aquí puede ver un círculo dividido en ${toWord(n)} anillos. Como antes, puede mover el control deslizante para "desenrollar" los anillos.

Si aumentamos el número de anillos a ${n2}, esta forma comienza a parecerse cada vez más a un .

La altura del triángulo es igual al del círculo. La base del triángulo es igual a del círculo. Por lo tanto, el área total del triángulo es aproximadamente

A=12base×height=πr2.

Si pudiéramos usar infinitos anillos o cuñas, las aproximaciones anteriores serían perfectas, y ambas nos dan la misma fórmula para el área de un círculo:

A=πr2.

Calculando Pi

Como viste anteriormente, π=3.1415926 no es un entero simple, y sus dígitos decimales continúan para siempre, sin ningún patrón repetitivo. Los números con esta propiedad se denominan números irracionales, y significa que π no se puede expresar como una fracción simple ab.

También significa que nunca podemos escribir todos los dígitos de Pi; después de todo, hay infinitos. Los antiguos matemáticos griegos y chinos calcularon los primeros cuatro dígitos decimales de Pi aproximando círculos usando polígonos regulares. Observe cómo, a medida que agrega más lados, el polígono comienza a verse como un círculo:

En 1665, Isaac Newton logró calcular 15 dígitos. Hoy, podemos usar computadoras potentes para calcular el valor de Pi con una precisión mucho mayor.

El registro actual es de 31,4 billones de dígitos. Un libro impreso que contenga todos estos dígitos tendría aproximadamente 400  km de espesor, ¡esa es la altura a la que la Estación Espacial Internacional orbita alrededor de la Tierra!

Por supuesto, no necesita recordar tantos dígitos de Pi. De hecho, la fracción 227=3.142 es una gran aproximación.

Un enfoque para calcular Pi es usar secuencias infinitas de números. Aquí hay un ejemplo que fue descubierto por Gottfried Wilhelm Leibniz en 1676:

π=4143+4547+494+

A medida que calculamos más y más términos de esta serie, siempre siguiendo el mismo patrón, el resultado se acercará cada vez más a Pi.

Muchos matemáticos creen que Pi tiene una propiedad aún más curiosa: que es un número normal. Esto significa que los dígitos del 0 al 9 aparecen completamente al azar, como si la naturaleza hubiera lanzado un dado de 10 lados infinitamente muchas veces, para determinar el valor de Pi.

Aquí puedes ver los primeros 100 dígitos de Pi. Muévase sobre algunas de las celdas para ver cómo se distribuyen los dígitos.

3
.
1
4
1
5
9
2
6
5
3
5
8
9
7
9
3
2
3
8
4
6
2
6
4
3
3
8
3
2
7
9
5
0
2
8
8
4
1
9
7
1
6
9
3
9
9
3
7
5
1
0
5
8
2
0
9
7
4
9
4
4
5
9
2
3
0
7
8
1
6
4
0
6
2
8
6
2
0
8
9
9
8
6
2
8
0
3
4
8
2
5
3
4
2
1
1
7
0
6
7
9

Si Pi es normal, significa que puede pensar en cualquier cadena de dígitos, y aparecerá en algún lugar de sus dígitos. Aquí puede buscar el primer millón de dígitos de Pi: ¿contienen su cumpleaños?

One Million Digits of Pi

Search for a string of digits:
3.

Incluso podríamos convertir un libro completo, como Harry Potter, en una cadena muy larga de dígitos (a = 01, b = 02, etc.). Si Pi es normal, esta cadena aparecerá en algún lugar de sus dígitos, pero tomaría millones de años calcular suficientes dígitos para encontrarla.

Pi es fácil de entender, pero de fundamental importancia en ciencias y matemáticas. Esa podría ser una razón por la cual Pi se ha vuelto inusualmente popular en nuestra cultura (al menos, en comparación con otros temas de matemáticas):

Pi is the secret combination for the tablet in “Night at the Museum 2”.

Professor Frink (“Simpsons”) silences a room of scientists by saying that Pi equals 3.

Spock (“Star Trek”) disables an evil computer by asking it to calculate the last digit of Pi.

Incluso hay un Pi día cada año, que cae el 14 de marzo, porque π3.14, o el 22 de julio, porque π227.