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Polígonos y PoliedrosCuadriláteros

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En el curso anterior investigamos muchas propiedades diferentes de los triángulos. Ahora echemos un vistazo a los cuadriláteros.

Un cuadrilátero regular se llama . Todos sus lados tienen la misma longitud y todos sus ángulos son iguales.

Un cuadrado es un cuadrilátero con cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales .

Para cuadriláteros ligeramente "menos regulares", tenemos dos opciones. Si solo queremos que los ángulos sean iguales, obtenemos un rectángulo . Si solo queremos que los lados sean iguales, obtenemos un rombo .

Un rectángulo es un cuadrilátero con cuatro ángulos iguales .

Un rombo es un cuadrilátero con cuatro lados iguales .

Hay algunos otros cuadriláteros, que son incluso menos regulares pero que aún tienen ciertas propiedades importantes:

Si ambos pares de lados opuestos son paralelos , obtenemos un paralelogramo .

Si dos pares de lados adyacentes tienen la misma longitud, obtenemos una cometa .

Si al menos un par de lados opuestos es paralelo, obtenemos un trapecio .

Los cuadriláteros pueden caer en múltiples de estas categorías. Podemos visualizar la jerarquía de diferentes tipos de cuadriláteros como un diagrama de Venn :

Por ejemplo, cada rectángulo también es un , y cada también es una cometa. Un rombo es a un cuadrado y un rectángulo es un trapecio.

Para evitar cualquier ambigüedad, generalmente usamos solo el tipo más específico.

Ahora elija cuatro puntos, en cualquier parte del cuadro gris a la izquierda. Podemos conectarlos a todos para formar un cuadrilátero.

Encontremos el punto medio de cada uno de los cuatro lados. Si conectamos los puntos medios, obtenemos

Intenta mover los vértices del cuadrilátero exterior y observa lo que le sucede al más pequeño. Parece que no es un cuadrilátero cualquiera , sino siempre un !

¿Pero por qué es ese el caso? ¿Por qué el resultado para cualquier cuadrilátero siempre termina siendo un paralelogramo? Para ayudarnos a explicar, necesitamos dibujar una de las diagonales del cuadrilátero original.

La diagonal divide el cuadrilátero en dos triángulos . Y ahora puedes ver que dos de los lados del cuadrilátero interno son en realidad de estos triángulos.

En el curso anterior mostramos que los segmentos medios de un triángulo siempre son paralelos a su base. En este caso, significa que ambos lados son paralelos a la diagonal, por lo tanto, también deben ser .

Podemos hacer exactamente lo mismo con la segunda diagonal del cuadrilátero, para mostrar que ambos pares de lados opuestos son paralelos. Y esto es todo lo que necesitamos para demostrar que el cuadrilátero interno es un paralelogramo .

Paralelogramas

Resulta que los paralelogramos tienen muchas otras propiedades interesantes, además de que los lados opuestos son paralelos. ¿Cuál de las siguientes seis afirmaciones es verdadera?

The opposite sides are congruent.
The internal angles are always less than 90°.
The diagonals bisect the internal angles.
The opposite angles are congruent.
Both diagonals are congruent.
Adjacent sides have the same length
The two diagonals bisect each other in the middle.

Por supuesto, simplemente "observar" estas propiedades no es suficiente. Para asegurarnos de que siempre sean ciertas, debemos demostrarlas :

Lados opuestos y ángulos

Tratemos de demostrar que los lados y ángulos opuestos en un paralelogramo siempre son congruentes.

Comience dibujando una de las diagonales del paralelogramo.

La diagonal crea cuatro nuevos ángulos con los lados del paralelogramo. Los dos ángulos rojos y los dos ángulos azules son ángulos alternos , por lo que deben ser

Ahora, si miramos los dos triángulos creados por la diagonal, vemos que tienen dos ángulos congruentes y un lado congruente . Por la Condición de congruencia , ambos triángulos deben ser congruentes.

Esto significa que las otras partes correspondientes de los triángulos también deben ser congruentes: en particular, ambos pares de lados opuestos son congruentes y ambos pares de ángulos opuestos son congruentes.

Resulta que lo contrario también es cierto: si ambos pares de lados opuestos (o ángulos) en un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero debe ser un paralelogramo.

Diagonales

Ahora pruebe que las dos diagonales en un paralelogramo se bisecan entre sí.

Pensemos en los dos triángulos amarillos generados por las diagonales:

  • Acabamos de demostrar que los dos lados verdes son congruentes, porque son lados opuestos de un paralelogramo. * Los dos ángulos rojos y los dos ángulos azules son congruentes, porque son

Por la Condición de , los dos triángulos amarillos también deben ser congruentes.

Ahora podemos usar el hecho de que las partes correspondientes de los triángulos congruentes también son congruentes, para concluir que AM = CM y BM = DM . En otras palabras, las dos diagonales se cruzan en sus puntos medios.

Como antes, lo contrario también es cierto: si las dos diagonales de un cuadrilátero se bisecan, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

Cometas

Mostramos arriba que los dos pares de lados de un paralelogramo son congruentes. En una cometa, dos pares de lados adyacentes son congruentes.

El nombre Kite claramente proviene de su forma: se parece a las cometas que puedes volar en el cielo. Sin embargo, de todos los cuadriláteros especiales que hemos visto hasta ahora, el Kite es el único que también puede ser cóncavo : si tiene forma de dardo o flecha:

Una cometa convexa

Una cometa cóncava que parece una flecha

Es posible que hayas notado que todas las cometas son El eje de simetría es .

La diagonal divide la cometa en dos triángulos congruentes . Sabemos que son congruentes desde la condición SSS : ambos triángulos tienen tres lados congruentes (rojo, verde y azul).

Usando CPOCT , por lo tanto, sabemos que los ángulos correspondientes también deben ser congruentes.

Esto significa, por ejemplo, que la diagonal es una de los dos ángulos en sus extremos.

Podemos ir aún más lejos: si dibujamos la otra diagonal, obtenemos dos triángulos más pequeños . Estos también deben ser congruentes, debido a la condición SAS : tienen los mismos dos lados y el ángulo incluido .

Esto significa que el ángulo α también debe ser el mismo que el ángulo β . Como son adyacentes, los ángulos suplementarios tanto α como β deben ser °.

En otras palabras, las diagonales de una cometa son siempre

Área de cuadriláteros

Al calcular el área de triángulos en el curso anterior, utilizamos el truco de convertirlo en un Resulta que también podemos hacer eso para algunos cuadriláteros:

Paralelogramo

A la izquierda, intenta dibujar un rectángulo que tenga la misma área que el paralelogramo.

¿Puedes ver que el triángulo que falta a la izquierda es el triángulo superpuesto a la derecha? Por lo tanto, el área de un paralelogramo es

Área = base × altura

Tenga cuidado al medir la altura de un paralelogramo: generalmente no es lo mismo que uno de los dos lados.

Trapecio

Recuerde que los trapecios son cuadriláteros con un par de lados paralelos . Estos lados paralelos se llaman las bases del trapecio.

Como antes, intenta dibujar un rectángulo que tenga la misma área que este trapecio. ¿Puedes ver cómo los triángulos faltantes y agregados a la izquierda y a la derecha se cancelan?

los altura de este rectángulo es la los lados paralelos del trapecio.

los ancho del rectángulo es la distancia entre los de los dos lados no paralelos del trapecio. Esto se llama segmento medio del trapecio.

Al igual que con los triángulos , el segmento medio de un trapecio es sus dos bases. La longitud del segmento medio es el promedio de las longitudes de las bases: a+c2 .

Si combinamos todo esto, obtenemos una ecuación para el área de un trapecio de lados a y c paralelas, y la altura h:

A=h×a+c2

Cometa

En esta cometa, las dos diagonales forman el ancho y la altura de un gran rectángulo que rodea la cometa.

El área de este rectángulo es el área de la cometa. ¿Puedes ver cómo cada uno de los cuatro triángulos que componen la cometa son los mismos que los cuatro huecos fuera de ella?

Esto significa que el área de una cometa con diagonales d1 y d2 es

Área = 12 d1 × d2 .

Rombo

Un rombo es un cuadrilátero que tiene cuatro lados congruentes. Quizás recuerdes que cada rombo es un - y también una

Esto significa que para encontrar el área de un rombo, podemos usar la ecuación para el área de un paralelogramo o la del área de una cometa:

Área = base × altura = 12 d1 × d2 .

En diferentes contextos, se le pueden dar diferentes partes de un rombo (lados, altura, diagonales), y debe elegir la ecuación que sea más conveniente.