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Tiếng ViệtPolígonos y PoliedrosCuadriláteros
En el curso anterior investigamos muchas propiedades diferentes de los triángulos. Ahora echemos un vistazo a los cuadriláteros.
Un cuadrilátero regular se llama
Un cuadrado es un cuadrilátero con cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales .
Para cuadriláteros ligeramente "menos regulares", tenemos dos opciones. Si solo queremos que los ángulos sean iguales, obtenemos un
Un rectángulo es un cuadrilátero con cuatro ángulos iguales .
Un rombo es un cuadrilátero con cuatro lados iguales .
Hay algunos otros cuadriláteros, que son incluso menos regulares pero que aún tienen ciertas propiedades importantes:
Si ambos pares de lados opuestos son
Si dos pares de lados adyacentes tienen la misma longitud, obtenemos una cometa .
Si al menos un par de lados opuestos es paralelo, obtenemos un trapecio .
Los cuadriláteros pueden caer en múltiples de estas categorías. Podemos visualizar la jerarquía de diferentes tipos de cuadriláteros como un
Por ejemplo, cada rectángulo también es un
Para evitar cualquier ambigüedad, generalmente usamos solo el tipo más específico.
Ahora elija cuatro puntos, en cualquier parte del cuadro gris a la izquierda. Podemos conectarlos a todos para formar un cuadrilátero.
Encontremos el punto medio de cada uno de los cuatro lados. Si conectamos los puntos medios, obtenemos
Intenta mover los vértices del cuadrilátero exterior y observa lo que le sucede al más pequeño. Parece que no es un cuadrilátero cualquiera , sino siempre un
¿Pero por qué es ese el caso? ¿Por qué el resultado para cualquier cuadrilátero siempre termina siendo un paralelogramo? Para ayudarnos a explicar, necesitamos dibujar una de las
La diagonal divide el cuadrilátero en dos triángulos . Y ahora puedes ver que dos de los lados del cuadrilátero interno son en realidad
En el curso anterior mostramos que los
Podemos hacer exactamente lo mismo con la segunda diagonal del cuadrilátero, para mostrar que ambos pares de lados opuestos son paralelos. Y esto es todo lo que necesitamos para demostrar que el cuadrilátero interno es un
Paralelogramas
Resulta que los paralelogramos tienen muchas otras propiedades interesantes, además de que los lados opuestos son paralelos. ¿Cuál de las siguientes seis afirmaciones es verdadera?
Por supuesto, simplemente "observar" estas propiedades no es suficiente. Para asegurarnos de que siempre sean ciertas, debemos demostrarlas :
Lados opuestos y ángulos
Tratemos de demostrar que los lados y ángulos opuestos en un paralelogramo siempre son congruentes.
Comience dibujando una de las diagonales del paralelogramo.
La diagonal crea cuatro nuevos ángulos con los lados del paralelogramo. Los dos ángulos rojos y los dos ángulos azules son
Ahora, si miramos los dos triángulos creados por la diagonal, vemos que tienen dos ángulos congruentes y un lado congruente . Por la
Esto significa que las otras partes correspondientes de los triángulos también deben ser congruentes: en particular, ambos pares de lados opuestos son congruentes y ambos pares de ángulos opuestos son congruentes.
Resulta que lo contrario también es cierto: si ambos pares de lados opuestos (o ángulos) en un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero debe ser un paralelogramo.
Diagonales
Ahora pruebe que las dos diagonales en un paralelogramo se bisecan entre sí.
Pensemos en los dos triángulos amarillos generados por las diagonales:
- Acabamos de demostrar que los dos lados verdes son congruentes, porque son lados opuestos de un paralelogramo. * Los dos ángulos rojos y los dos ángulos azules son congruentes, porque son
Por la
Ahora podemos usar el hecho de que las partes correspondientes de los triángulos congruentes también son congruentes, para concluir que
Como antes, lo contrario también es cierto: si las dos diagonales de un cuadrilátero se bisecan, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.
Cometas
Mostramos arriba que los dos pares de
El nombre Kite claramente proviene de su forma: se parece a las cometas que puedes volar en el cielo. Sin embargo, de todos los cuadriláteros especiales que hemos visto hasta ahora, el Kite es el único que también puede ser
Una cometa convexa
Una cometa cóncava que parece una flecha
Es posible que hayas notado que todas las cometas son
La diagonal divide la cometa en dos triángulos congruentes . Sabemos que son congruentes desde la condición
Usando
Esto significa, por ejemplo, que la diagonal es una
Podemos ir aún más lejos: si dibujamos la otra diagonal, obtenemos dos triángulos más pequeños . Estos también deben ser congruentes, debido a la condición
Esto significa que el ángulo α también debe ser el mismo que el ángulo β . Como son adyacentes,
En otras palabras, las diagonales de una cometa son siempre
Área de cuadriláteros
Al calcular el área de triángulos en el curso anterior, utilizamos el truco de convertirlo en un
Paralelogramo
A la izquierda, intenta dibujar un rectángulo que tenga la misma área que el paralelogramo.
¿Puedes ver que el triángulo que falta a la izquierda es
Área = base × altura
Tenga cuidado al medir la altura de un paralelogramo: generalmente no es lo mismo que uno de los dos lados.
Trapecio
Recuerde que los trapecios son cuadriláteros con un par de lados paralelos . Estos lados paralelos se llaman las bases del trapecio.
Como antes, intenta dibujar un rectángulo que tenga la misma área que este trapecio. ¿Puedes ver cómo los triángulos faltantes y agregados a la izquierda y a la derecha se cancelan?
los altura de este rectángulo es la
los ancho del rectángulo es la distancia entre los
Al igual que con los
Si combinamos todo esto, obtenemos una ecuación para el área de un trapecio de lados a y c paralelas, y la altura h:
Cometa
En esta cometa, las dos diagonales forman el ancho y la altura de un gran rectángulo que rodea la cometa.
El área de este rectángulo es
Esto significa que el área de una cometa con diagonales d1 y d2 es
Área =
Rombo
Un
Esto significa que para encontrar el área de un rombo, podemos usar la ecuación para el área de un paralelogramo o la del área de una cometa:
Área = base × altura =
En diferentes contextos, se le pueden dar diferentes partes de un rombo (lados, altura, diagonales), y debe elegir la ecuación que sea más conveniente.