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Polígonos y PoliedrosTeselaciones

Tiempo de leer: ~25 min

Los polígonos aparecen en todas partes en la naturaleza. Son especialmente útiles si desea enlosar un área grande, porque puede encajar polígonos juntos sin espacios ni superposiciones. Patrones como ese se llaman teselaciones .

Panal

Piel de serpiente de leche sinaloense

Estructura celular de las hojas.

Columnas de basalto en la Calzada del Gigante en Irlanda del Norte

Piel de piña

Caparazón de tortuga

Los humanos han copiado muchos de estos patrones naturales en el arte, la arquitectura y la tecnología, desde la antigua Roma hasta el presente. Aquí están algunos ejemplos:

Patrón de pavimento

Invernadero en el Proyecto Edén en Inglaterra

Mosaico en la Alhambra

Techo en el Museo Británico de Londres

Pabellón de teselación celular en Sydney

Estudio de la división regular del avión con reptiles , MC Escher

Aquí puede crear sus propios mosaicos utilizando polígonos regulares. Simplemente arrastre nuevas formas desde la barra lateral al lienzo. ¿Qué formas teselan bien? ¿Hay formas que no se tessellate en absoluto? ¡Intenta crear patrones interesantes!

Examples of other students’ tessellations

Teselaciones de polígonos regulares

Es posible que haya notado que algunos polígonos regulares (como ) se teselan muy fácilmente, mientras que otros (como los ) no parecen teselar en absoluto.

Esto tiene que ver con el tamaño de sus ángulos internos , que aprendimos a calcular antes. En cada vértice de la teselación, se encuentran los ángulos internos de múltiples polígonos diferentes. Necesitamos todos estos ángulos para sumar °, de lo contrario habrá un espacio o una superposición.

triangles

Triángulos porque 6 × 60° = 360°.

squares

Cuadrados porque 4 × 90° = 360°.

pentagons

Los pentágonos porque los múltiplos de 108° no suman 360°.

hexagons

Hexágonos porque 3 × 120° = 360°.

De manera similar, puede verificar que, al igual que los pentágonos, cualquier polígono regular con 7 o más lados no se teselelate. ¡Esto significa que los únicos polígonos regulares que se teselan son triángulos, cuadrados y hexágonos!

Por supuesto, puede combinar diferentes tipos de polígonos regulares en una teselación, siempre que sus ángulos internos puedan sumar 360°:

Squares and triangles
90° + 90° + 60° + 60° + 60° = 360°

Squares and triangles
90° + 90° + 60° + 60° + 60° = 360°

Hexagons and triangles
120° + 120° + 60° + 60° = 360°

Hexagons and triangles
120° + 60° + 60° + 60° + 60° = 360°

Hexagons, squares and triangles
120° + 90° + 90° + 60° = 360°

Octagons and squares
135° + 135° + 90° = 360°

Dodecagons (12-gons) and triangles
150° + 150° + 60° = 360°

Dodecagons, hexagons and squares
150° + 120° + 90° = 360°

Teselaciones de polígonos irregulares

También podemos intentar hacer mosaicos con polígonos irregulares , siempre que tengamos cuidado al rotarlos y organizarlos.

¡Resulta que puedes teselar no solo triángulos equiláteros, sino cualquier triángulo ! Intenta mover los vértices en este diagrama.

La suma de los ángulos internos en un triángulo es °. Si usamos cada ángulo en cada vértice de la teselación, obtenemos 360°:

Más sorprendentemente, ¡ cualquier cuadrilátero también se testea! Su suma de ángulo interno es °, así que si usamos cada ángulo en cada vértice de la teselación, obtenemos 360°.

Los pentágonos son un poco más complicados. Ya vimos que los pentágonos regulares , pero ¿qué pasa con los no regulares?

pentagons-1
pentagons-2
pentagons-3

Aquí hay tres ejemplos diferentes de teselaciones con pentágonos. No son regulares , pero son polígonos de 5 lados perfectamente válidos.

Hasta ahora, los matemáticos solo han encontrado 15 tipos diferentes de teselaciones con pentágonos (convexos), el más reciente de los cuales se descubrió en 2015. Nadie sabe si hay otros, o si estos 15 son los únicos ...

Teselaciones en el arte

Tessellations es a la vez una herramienta e inspiración para muchos artistas, arquitectos y diseñadores, especialmente el artista holandés MC Escher . El trabajo de Escher contiene criaturas, patrones y paisajes extraños y mutantes:

“Sky and Water I” (1938)

“Lizard” (1942)

“Lizard, Fish, Bat” (1952)

“Butterfly” (1948)

“Two Fish” (1942)

“Shells and Starfish” (1941)

Estas obras de arte a menudo se ven divertidas y sin esfuerzo, pero los principios matemáticos subyacentes son los mismos que antes: ángulos, rotaciones, traslaciones y polígonos. Si las matemáticas no están bien, ¡la teselación no funcionará!

“Metamorphosis II” by M. C. Escher (1940)

Penrose Tilings

Todas las teselaciones que vimos hasta ahora tienen una cosa en común: son periódicas . Eso significa que consisten en un patrón regular que se repite una y otra vez. Pueden continuar para siempre en todas las direcciones y se verán igual en todas partes.

En la década de 1970, el matemático y físico británico Roger Penrose descubrió teselaciones no periódicas : todavía continúan infinitamente en todas las direcciones, pero nunca se ven exactamente iguales. Estos se llaman inclinaciones de Penrose , y solo necesita unos pocos tipos diferentes de polígonos para crear uno:

Move the slider to reveal the underlying structure of this tessellation. Notice how you have the same patterns at various scales: the small yellow pentagons, blue stars, orange rhombi and green ‘ships’ appear in their original size, in a slightly larger size and an even larger size. This self-similarity can be used to prove that this Penrose tiling is non-periodic.

Penrose estaba explorando los mosaicos puramente por diversión, pero resulta que la estructura interna de algunos materiales reales (como el aluminio) sigue un patrón similar. El patrón incluso se usó en papel higiénico, porque los fabricantes notaron que un patrón no periódico puede enrollarse sin abultamientos.