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Polígonos y PoliedrosSólidos platónicos

Tiempo de leer: ~35 min

Al comienzo de este curso definimos polígonos regulares como polígonos particularmente "simétricos", donde todos los lados y ángulos son iguales. Podemos hacer algo similar para los poliedros.

En un poliedro regular, todas las caras son del mismo tipo de polígono regular, y la misma cantidad de caras se encuentran en cada vértice . Los poliedros con estas dos propiedades se llaman sólidos platónicos , llamados así por el filósofo griego Platón .

Entonces, ¿cómo son los sólidos platónicos y cuántos de ellos hay? Para hacer una forma tridimensional, necesitamos al menos caras para encontrarse en cada vértice. Comencemos sistemáticamente con el polígono regular más pequeño: triángulos equiláteros:

Si creamos un poliedro donde tres triángulos equiláteros se encuentran en cada vértice, obtenemos la forma a la izquierda. Se llama tetraedro y tiene caras. ("Tetra" significa "cuatro" en griego).

Si cuatro triángulos equiláteros se encuentran en cada vértice, obtenemos un sólido platónico diferente. Se llama octaedro y tiene caras. ("Octa" significa "ocho" en griego. Al igual que "Octágono" significa forma de 8 lados, "Octaedro" significa sólido de 8 caras).

Si triángulos se encuentran en cada vértice, obtenemos el Icosaedro . Tiene caras. ("Icosa" significa "veinte" en griego).

Si triángulos se encuentran en cada vértice, sucede algo diferente: simplemente obtenemos , en lugar de un poliedro tridimensional.

Y siete o más triángulos en cada vértice tampoco producen nuevos poliedros: no hay suficiente espacio alrededor de un vértice, para acomodar tantos triángulos.

Esto significa que hemos encontrado sólidos platónicos que consisten en triángulos. Pasemos al siguiente polígono regular: cuadrados.

Si cuadrados se encuentran en cada vértice, obtenemos el cubo . Al igual que los dados, tiene caras. El cubo a veces también se llama _Hexahedron , después de la palabra griega "hexa" para "seis"._

Si cuadrados se encuentran en cada vértice, obtenemos Y como antes, cinco o más cuadrados tampoco funcionarán.

A continuación, intentemos con pentágonos regulares:

Si pentágonos se encuentran en cada vértice, obtenemos el Dodecaedro . Tiene caras. ("Dodeca" significa "doce" en griego).

Como antes, cuatro o más pentágonos porque no hay suficiente espacio.

El siguiente polígono regular para probar son los hexágonos:

Si tres hexágonos se encuentran en cada vértice, inmediatamente obtenemos un Dado que no hay espacio para más de tres, parece que no hay sólidos platónicos que consisten en hexágonos.

Lo mismo también ocurre para todos los polígonos regulares con más de seis lados. No se teselan, y ciertamente no obtenemos ningún polígono tridimensional.

¡Esto significa que solo hay sólidos platónicos! Echemos un vistazo a todos ellos juntos:

Tetraedro

caras
vértices
bordes

Cubo

caras
vértices
bordes

Octaedro

caras
vértices
bordes

Dodecaedro

caras
20 vértices
30 bordes

Icosaedro

caras
12 vértices
30 bordes

Observe cómo se el número de caras y vértices para el cubo y el octaedro , así como para el dodecaedro y el icosaedro , mientras que el número de aristas se Estos pares de sólidos platónicos se denominan sólidos duales .

Podemos convertir un poliedro en su doble, "reemplazando" cada cara con un vértice, y cada vértice con una cara. Estas animaciones muestran cómo:

El tetraedro es dual consigo mismo. Como tiene la misma cantidad de caras y vértices, intercambiarlas no cambiaría nada.

Platón creía que toda la materia en el universo consta de cuatro elementos: aire, tierra, agua y fuego. Pensó que cada elemento corresponde a uno de los sólidos platónicos, mientras que el quinto representaría el universo en su conjunto. Hoy sabemos que hay más de 100 elementos diferentes que consisten en átomos esféricos, no en poliedros.

Images from Johannes Kepler’s book “Harmonices Mundi” (1619)

Sólidos Archimedean

Los sólidos platónicos son poliedros particularmente importantes, pero hay muchos otros.

Los sólidos de Arquímedes , por ejemplo, todavía tienen que estar formados por polígonos regulares , pero puedes usar múltiples tipos diferentes. Reciben su nombre de otro matemático griego, Arquímedes de Siracusa , y hay 13 de ellos:

Tetraedro Truncado
8 caras, 12 vértices, 18 aristas

Cuboctaedro
14 caras, 12 vértices, 24 aristas

Cubo Truncado
14 caras, 24 vértices, 36 aristas

Octaedro truncado
14 caras, 24 vértices, 36 aristas

Rombicuboctaedro
26 caras, 24 vértices, 48 aristas

Cuboctaedro Truncado
26 caras, 48 vértices, 72 aristas

Snub Cube
38 caras, 24 vértices, 60 aristas

Icosidodecaedro
32 caras, 30 vértices, 60 aristas

Dodecaedro Truncado
32 caras, 60 vértices, 90 bordes

Icosaedro Truncado
32 caras, 60 vértices, 90 bordes

Rombicosidodecaedro
62 caras, 60 vértices, 120 bordes

Icosidodecaedro truncado
62 caras, 120 vértices, 180 aristas

Dodecaedro desaire
92 caras, 60 vértices, 150 bordes

Aplicaciones

Platón se equivocó al creer que todos los elementos consisten en sólidos platónicos. Pero los poliedros regulares tienen muchas propiedades especiales que los hacen aparecer en otras partes de la naturaleza, y podemos copiar estas propiedades en ciencia e ingeniería.

Radiolaria skeleton

Icosahedral virus

Muchos virus , bacterias y otros organismos pequeños tienen forma de icosaedro . Los virus, por ejemplo, deben encerrar su material genético dentro de un caparazón de muchas unidades de proteínas idénticas. El icosaedro es la forma más eficiente de hacer esto, porque consta de unos pocos elementos regulares pero tiene casi la forma de una esfera.

Buckyball molecule

Montreal Biosphere

Muchas moléculas tienen forma de poliedros regulares. El ejemplo más famoso es C60 que consta de 60 átomos de carbono dispuestos en forma de un icosaedro truncado .

Fue descubierto en 1985 cuando los científicos investigaron el polvo interestelar. Lo llamaron "Buckyball" (o Buckminsterfullerene) después del arquitecto Buckminster Fuller , famoso por construir edificios de aspecto similar.

Fluorite octahedron

Pyrite cube

La mayoría de los cristales tienen sus átomos dispuestos en una cuadrícula regular que consiste en tetraedros , cubos u octaedros . Cuando se agrietan o se rompen, puedes ver estas formas a mayor escala.

Octagonal space frames

Louvre museum in Paris

El tetraedro y el octaedro son increíblemente rígidos y estables, lo que los hace muy útiles en la construcción . Los marcos espaciales son estructuras poligonales que pueden soportar techos grandes y puentes pesados.

Football

Polygonal role-playing dice

Los sólidos platónicos también se usan para crear dados . Debido a su simetría, cada lado tiene la probabilidad de aterrizar hacia arriba, por lo que los dados son justos.

El icosaedro truncado es probablemente el poliedro más famoso del mundo: es la forma del fútbol.