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Polígonos y PoliedrosPolígonos

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Un polígono es una forma cerrada y plana que solo tiene lados rectos. Los polígonos pueden tener cualquier número de lados y ángulos, pero los lados no pueden ser curvos. ¿Cuál de las siguientes formas son polígonos?

polygon-1
polygon-2
polygon-3
polygon-4
polygon-5
polygon-5_1

Damos diferentes nombres a los polígonos, dependiendo de cuántos lados tengan:

number-3

Triangle
3 sides

number-4

Quadrilateral
4 sides

number-5

Pentagon
5 sides

number-6

Hexagon
6 sides

number-7

Heptagon
7 sides

number-8

Octagon
8 sides

Ángulos en polígonos

Cada polígono con n lados también tiene n ángulos internos . Ya sabemos que la suma de los ángulos internos en un triángulo es siempre °, pero ¿qué pasa con otros polígonos?

${a1[0]}° + ${a1[1]}° + ${a1[2]}° + ${360-a1[0]-a1[1]-a1[2]}° =

${a2[0]}° + ${a2[1]}° + ${a2[2]}° + ${a2[3]}° + ${540-a2[0]-a2[1]-a2[2]-a2[3]}° =

Parece que la suma de los ángulos internos en un cuadrilátero es siempre °, exactamente la suma de ángulos en un triángulo. Esto no es una coincidencia: cada cuadrilátero se puede dividir en dos triángulos.

triangles-4
triangles-1
triangles-2
triangles-3

Lo mismo también funciona para polígonos más grandes. Podemos dividir un pentágono en triángulos, por lo que su suma de ángulos internos es 3×180°= °. Y podemos dividir un hexágono en triángulos, por lo que su suma de ángulos internos es 4×180°= °.

Un polígono con ${x} los lados tendrán una suma de ángulo interno de 180° × ${x-2} = ${(x-2)*180}°. Más generalmente, un polígono con n lados se puede dividir en triángulos Por lo tanto,

Suma de ángulos internos en un n -gon =n2×180° .

Polígonos convexos y cóncavos

Decimos que un polígono es cóncavo si tiene una sección que "apunta hacia adentro". Puedes imaginar que esta parte se ha "derrumbado" . Los polígonos que no son cóncavos se llaman convexos .

Hay dos formas de identificar fácilmente los polígonos cóncavos: tienen al menos un ángulo interno mayor de 180° . También tienen al menos una diagonal que se encuentra fuera del polígono .

En los polígonos convexos, por otro lado, todos los ángulos internos son inferiores a °, y todas las diagonales se encuentran del polígono

¿Cuál de estos polígonos son cóncavos?

concave-1
concave-2
concave-3
concave-4
concave-5
concave-6

Polígonos regulares

Decimos que un polígono es regular si todos sus lados tienen la misma longitud y todos los ángulos tienen el mismo tamaño. ¿Cuál de estas formas son polígonos regulares?

regular-1
regular-2
regular-3
regular-4
regular-5
regular-6

Los polígonos regulares pueden venir en muchos tamaños diferentes, pero todos los polígonos regulares con el mismo número de lados !

Ya sabemos la suma de todos los ángulos internos en polígonos. Para polígonos regulares, todos estos ángulos tienen , por lo que podemos calcular el tamaño de un solo ángulo interno:

ángulo = = 180°×x2x=180°360°x .

Si n=3 obtenemos el tamaño de los ángulos internos de un triángulo equilátero; ya sabemos que debe ser °. En un polígono regular con ${x} lados, cada ángulo interno es 180° - 360°${x} = ${round(180-360/x)}°.

El área de polígonos regulares

Aquí puedes ver un polígono regular con ${n} lados Cada lado tiene longitud 1m . ¡Intentemos calcular su área!

Primero, podemos dividir el polígono en ${toWord(n)} congruente, los

Ya conocemos la de estos triángulos, pero también necesitamos la para poder calcular su área. En polígonos regulares, esta altura a veces se llama apotema

Observe que hay un triángulo rectángulo formado por la apotema y la mitad de la base del triángulo isósceles. ¡Esto significa que podemos usar trigonometría!

los los ángulos base del triángulo isósceles (llamémoslos α) son la tamaño de los ángulos internos del polígono:

α=12180°360°${n}=${round(90-180/n,2)}

Para encontrar la apotema, podemos usar la definición de :

tanα=oppositeadjacent=

apothem=12s×tanα=${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}m

Ahora, el área del triángulo isósceles es

12base×height=121m×${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}=${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2

El polígono consta de ${toWord(n)} de estos triángulos isósceles, todos los cuales tienen la misma área. Por lo tanto, el área total del polígono es

A=${n}×${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}=${round(n×tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2