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Tiếng ViệtCírculos y PiEsferas, conos y cilindros
En las secciones anteriores, estudiamos las propiedades de los círculos en una superficie plana. Pero nuestro mundo es tridimensional, así que echemos un vistazo a algunos sólidos 3D que se basan en círculos:
Un
Un
Cada punto en la superficie de una
Observe cómo la definición de una esfera es casi la misma que la definición de un
Cilindros
Aquí puedes ver el Gasómetro cilíndrico en Oberhausen, Alemania. Solía almacenar gas natural que se usaba como combustible en fábricas y plantas de energía cercanas. El gasómetro mide 120 m de altura y su base y techo son dos círculos grandes de radio 35 m. Hay dos preguntas importantes que los ingenieros pueden querer responder:
- ¿Cuánto gas natural se puede almacenar? Este es el
del cilindro. - ¿Cuánto acero se necesita para construir el gasómetro? Esta es (aproximadamente) la
del cilindro.
¡Intentemos encontrar fórmulas para ambos resultados!
Gasómetro Oberhausen
Volumen de un cilindro
La parte superior e inferior de un cilindro son dos círculos congruentes, llamados bases. La altura h de un cilindro es la distancia perpendicular entre estas bases, y el radio r de un El cilindro es simplemente el radio de las bases circulares.
Podemos aproximar un cilindro usando un
Aunque técnicamente un cilindro no es un prisma, comparten muchas propiedades. En ambos casos, podemos encontrar el volumen multiplicando el área de su base por su altura. Esto significa que un cilindro con radio r y altura h tiene volumen
Recuerda que el radio y la altura deben estar expresados en las mismas unidades. Por ejemplo, si r y h están en cm, entonces el volumen estará en
En los ejemplos anteriores, las dos bases del cilindro siempre estaban directamente una encima de la otra: esto se llama cilindro recto. Si las bases no están directamente una encima de la otra, tenemos un cilindro oblicuo. Las bases siguen siendo paralelas, pero los lados parecen "inclinarse" en un ángulo que no es de 90 °.
La Torre inclinada de Pisa en Italia no es un cilindro oblicuo.
El volumen de un cilindro oblicuo resulta ser exactamente el mismo que el de un cilindro recto con el mismo radio y altura. Esto se debe al
Imagine cortar un cilindro en muchos discos delgados. Luego podemos deslizar estos discos horizontalmente para obtener un cilindro oblicuo. El volumen de los discos individuales no cambia a medida que lo hace oblicuo, por lo tanto, el volumen total también permanece constante:
Superficie de un cilindro
Para encontrar la superficie de un cilindro, tenemos que "desenrollarlo" en el plano [desarrollo plano](gloss:desarrollo plano). Puedes intentarlo tú mismo, por ejemplo, quitando la etiqueta de una lata de comida.
Hay dos
- Los dos círculos tienen cada uno un área
. - La altura del rectángulo es
y el ancho del rectángulo es el mismo que la de los círculos: .
Esto significa que la superficie total de un cilindro con radio r y altura h viene dada por
Los cilindros se pueden encontrar en todo el mundo, desde latas de refrescos hasta papel higiénico o tuberías de agua. ¿Se te ocurren otros ejemplos?
El Gasómetro anterior tenía un radio de 35 m y una altura de 120 m. Ahora podemos calcular que su volumen es aproximadamente
Conos
Un
El radio del cono es el radio de la base circular, y la altura del cono es la distancia perpendicular desde la base hasta el vértice.
Al igual que otras formas que conocimos antes, los conos están en todas partes: conos de helado, conos de tráfico, ciertos techos e incluso árboles de navidad. ¿Qué más se te ocurre?
Volumen de un cono
Anteriormente calculamos el volumen de un cilindro aproximándolo con un prisma. De manera similar, podemos encontrar el volumen de un cono aproximándolo usando una
Aquí puedes ver una pirámide de
Esto también significa que podemos usar la ecuación para el volumen:
Observe la similitud con la ecuación para el volumen de un cilindro. Imagine dibujar un cilindro _alrededor del cono, con la misma base y altura; esto se llama el cilindro circunscrito. Ahora, el cono ocupará exactamente
Nota: Puedes pensar que aproximar con infinitos lados muy pequeños es un poco "impreciso". Los matemáticos pasaron mucho tiempo tratando de encontrar una forma más directa de calcular el volumen de un cono. ¡En 1900, el gran matemático
Al igual que un cilindro, un cono no tiene que ser "recto". Si el vértice está directamente sobre el centro de la base, tenemos un cono recto. De lo contrario, lo llamamos un cono oblicuo.
Una vez más, podemos usar el principio de Cavalieri para demostrar que todos los conos oblicuos tienen el mismo volumen, siempre que tengan la misma base y altura.
Superficie de un cono
Encontrar la superficie de un cono es un poco más complicado. Como antes, podemos desenredar un cono en su desarrollo plano. Mueve el control deslizante para ver qué sucede: en este caso, obtenemos un círculo y un
Ahora solo tenemos que sumar el área de ambos componentes. La base es un círculo con radio r, por lo que su área es
El radio del sector circular es igual a la distancia del borde de la base un cono hasta su vértice. Esto se llama generatriz s del cono, y no mide lo mismo que la altura h . Podemos calcular la generatriz usando el Teorema de
|
La longitud del arco del sector es la misma que la
|
Finalmente, solo tenemos que sumar el área de la base y el área del sector , para obtener la superficie total del cono:
esferas
Una
Puede pensar en una esfera como un "
En una sección anterior, aprendiste cómo el matemático griego
Volumen de una esfera
Para encontrar el volumen de una esfera, una vez más tenemos que usar el Principio de Cavalieri. Comencemos con un hemisferio: una esfera cortada por la mitad a lo largo del ecuador. También necesitamos un cilindro con el mismo radio y altura que el hemisferio, pero con un cono invertido "cortado" en el medio.
A medida que mueves el control deslizante hacia arriba, puedes ver la sección transversal de estas dos formas a una altura específica sobre la base:
Tratemos de encontrar el área de la sección transversal de estos dos sólidos, a una distancia altura h sobre la base.
La sección transversal del hemisferio es siempre un
El radio x de la sección transversal es parte de un triángulo rectángulo , por lo que podemos usar
Ahora, el área de la sección transversal es
| A | = |
La sección transversal del cilindro recortado siempre es un
El radio del hoyo es h. Podemos encontrar el área del anillo restando el área del agujero del área del círculo más grande:
| A | = |
Parece que ambos sólidos tienen la misma área de sección transversal en todos los niveles. Según el principio de Cavalieri, ¡ambos sólidos también deben tener el mismo
|
Una esfera consta de
La Tierra es (aproximadamente) una esfera con un radio de 6.371 km. Por lo tanto su volumen es
|
La densidad media de la Tierra es
¡Eso es un 6 seguido de 24 ceros!
Si comparas las ecuaciones para el volumen de un cilindro, cono y esfera, es posible que te des cuenta de una de las relaciones más llamativas de la geometría. Imagina que tenemos un cilindro con la misma altura que el diámetro de su base. Ahora podemos colocar tanto un cono como una esfera perfectamente en su interior:
Este cono tiene radio
Esta esfera tiene radio
Este cilindro tiene radio
Observa cómo, si
Superficie de una esfera
Encontrar una fórmula para la superficie de una esfera es muy difícil. Una razón es que no podemos abrir y "aplanar" la superficie de una esfera, como lo hicimos antes para conos y cilindros.
Este es un problema particular cuando se trata de crear mapas. La Tierra tiene una superficie curva tridimensional, pero cada mapa impreso debe ser plano y bidimensional. Esto significa que los geógrafos tienen que hacer trampa: estirando o aplastando ciertas áreas.
Aquí puedes ver algunos tipos diferentes de mapas, llamados proyecciones. Intenta mover el cuadrado rojo y observa cómo se ve este área en realidad en un globo:
Al ir moviendo el cuadrado en el mapa observa como cambia el tamaño y la forma de la superficie
Para encontrar la superficie de una esfera, una vez más podemos aproximarla usando una forma diferente, por ejemplo, un poliedro con muchas caras. A medida que aumenta el número de caras, el poliedro comienza a parecerse cada vez más a una esfera.
PRÓXIMAMENTE: Prueba de área de superficie de esfera