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Círculos y PiEsferas, conos y cilindros

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En las secciones anteriores, estudiamos las propiedades de los círculos en una superficie plana. Pero nuestro mundo es en realidad tridimensional, así que echemos un vistazo a algunos sólidos 3D que se basan en círculos:

Un cilindro consta de dos círculos paralelos congruentes unidos por una superficie curva.

Un cono tiene una base circular que se une a un solo punto (llamado vértice).

Cada punto en la superficie de una esfera tiene la misma distancia desde su centro.

Observe cómo la definición de una esfera es casi la misma que la definición de un , ¡excepto en tres dimensiones!

Cilindros

Aquí puede ver el Gasómetro cilíndrico en Oberhausen, Alemania. Solía almacenar gas natural que se usaba como combustible en fábricas y plantas de energía cercanas. El gasómetro mide 120 m de altura y su base y techo son dos círculos grandes con radio de 35 m. Hay dos preguntas importantes que los ingenieros pueden querer responder:

  • ¿Cuánto gas natural se puede almacenar? Este es el del cilindro.
  • ¿Cuánto acero se necesita para construir el gasómetro? Esta es (aproximadamente) la del cilindro.

¡Intentemos encontrar fórmulas para ambos resultados!

Gasómetro Oberhausen

Volumen de un cilindro

La parte superior e inferior de un cilindro son dos círculos congruentes, llamados bases. La altura h de un cilindro es la distancia perpendicular entre estas bases, y el radio r de un El cilindro es simplemente el radio de las bases circulares.

Podemos aproximar un cilindro usando un ${n} lado prisma. A medida que aumenta el número de lados, el prisma comienza a parecerse cada vez más a un cilindro:

Aunque técnicamente un cilindro no es un prisma, comparten muchas propiedades. En ambos casos, podemos encontrar el volumen multiplicando el área de su base con su altura. Esto significa que un cilindro con radio r y altura h tiene volumen

V=

Recuerde que el radio y la altura deben usar las mismas unidades. Por ejemplo, si r y h están en cm, entonces el volumen estará en .

En los ejemplos anteriores, las dos bases del cilindro siempre estuvieron directamente una encima de la otra: esto se llama cilindro derecho. Si las bases no están directamente una encima de la otra, tenemos un cilindro oblicuo. Las bases todavía son paralelas, pero los lados parecen "inclinarse" en un ángulo que no es de 90 °.

La Torre inclinada de Pisa en Italia no es un cilindro oblicuo.

El volumen de un cilindro oblicuo resulta ser exactamente el mismo que el de un cilindro derecho con el mismo radio y altura. Esto se debe al Principio de Cavalieri, llamado así por el matemático italiano Bonaventura Cavalieri: si dos sólidos tienen la misma área de sección transversal en cada altura, entonces tendrán tener el mismo volumen

Imagine cortar un cilindro en muchos discos delgados. Luego podemos deslizar estos discos horizontalmente para obtener un cilindro oblicuo. El volumen de los discos individuales no cambia a medida que lo hace oblicuo, por lo tanto, el volumen total también permanece constante:

Área de superficie de un cilindro

Para encontrar el área de superficie de un cilindro, tenemos que "desenrollarlo" en su plano net. Puede probarlo usted mismo, por ejemplo, quitando la etiqueta de una lata de comida.

Hay dos , uno en la parte superior y otro en la parte inferior del cilindro. El lado curvo es en realidad un gran .

  • Los dos círculos tienen cada uno un área .
  • La altura del rectángulo es y el ancho del rectángulo es el mismo que la de los círculos: .

Esto significa que la superficie total de un cilindro con radio r y altura h viene dada por

A= .

Los cilindros se pueden encontrar en todo el mundo, desde latas de refrescos hasta papel higiénico o tuberías de agua. ¿Se te ocurren otros ejemplos?

El Gasómetro anterior tenía un radio de 35 my una altura de 120 m. Ahora podemos calcular que su volumen es aproximadamente m3 y su área de superficie es aproximadamente m2.

Conos

Un cono es un sólido tridimensional que tiene una base circular . Su lado “se estrecha hacia arriba” como se muestra en el diagrama, y termina en un solo punto llamado vértice .

El radio del cono es el radio de la base circular, y la altura del cono es la distancia perpendicular desde la base hasta el vértice.

Al igual que otras formas que conocimos antes, los conos están en todas partes: conos de helado, conos de tráfico, ciertos techos e incluso árboles de navidad. ¿Qué más se te ocurre?

Volumen de un cono

Anteriormente encontramos el volumen de un cilindro aproximándolo con un prisma. De manera similar, podemos encontrar el volumen de un cono aproximándolo usando una pirámide.

Aquí puede ver una pirámide de ${n} lados. A medida que aumenta el número de lados, la pirámide comienza a parecerse cada vez más a un cono. De hecho, ¡podríamos pensar en un cono como una pirámide con infinitamente muchos lados!

Esto también significa que también podemos usar la ecuación para el volumen: V=13base×height. La base de un cono es un círculo, por lo que el volumen de un cono con radio r y altura h es

V=

Observe la similitud con la ecuación para el volumen de un cilindro. Imagine dibujar un cilindro alrededor de el cono, con la misma base y altura; esto se llama el cilindro circunscrito. Ahora, el cono ocupará exactamente del volumen del cilindro:

Nota: Puede pensar que infinitamente muchos lados pequeños como una aproximación es un poco "impreciso". Las matemáticas pasaron mucho tiempo tratando de encontrar una forma más directa de calcular el volumen de un cono. ¡En 1900, el gran matemático David Hilbert incluso lo nombró como uno de los 23 problemas no resueltos más importantes en matemáticas! Hoy sabemos que en realidad es imposible.

Al igual que un cilindro, un cono no tiene que ser "recto". Si el vértice está directamente sobre el centro de la base, tenemos un cono derecho. De lo contrario, lo llamamos un cono oblicuo.

Una vez más, podemos usar el principio de Cavalieri para mostrar que todos los conos oblicuos tienen el mismo volumen, siempre que tengan la misma base y altura.

Área de superficie de un cono

Encontrar el área de superficie de un cono es un poco más complicado. Como antes, podemos desenredar un cono en su red. Mueva el control deslizante para ver qué sucede: en este caso, obtenemos un círculo y un .

Ahora solo tenemos que sumar el área de ambos componentes. La base es un círculo con radio r, por lo que su área es

ABase= .

El radio del sector es el mismo que la distancia desde el borde de un cono hasta su vértice. Esto se llama altura inclinada s del cono, y no es lo mismo que la altura normal h . Podemos encontrar la altura inclinada usando Pitágoras:

s2=
s=

La longitud del arco del sector es la misma que la de la base: 2πr. Ahora podemos encontrar el área del sector utilizando la fórmula que derivamos en una sección anterior:

ASector=ACircle×arccircumference
=

Finalmente, solo tenemos que sumar el área de la base y el área del sector , para obtener la superficie total del cono:

A=

esferas

Una esfera es un sólido tridimensional que consta de todos los puntos que tienen la misma distancia desde un centro C. Esta distancia se denomina radio r de la esfera.

Puede pensar en una esfera como un "círculo tridimensional". Al igual que un círculo, una esfera también tiene un diámetro d, que es la longitud del radio, así como acordes y secantes.

En una sección anterior, aprendiste cómo el matemático griego Eratóstenes calculó el radio de la Tierra usando la sombra de un poste: era 6.371 km. Ahora, intentemos encontrar el volumen total de la Tierra y el área de superficie.

Volumen de una esfera

Para encontrar el volumen de una esfera, una vez más tenemos que usar el Principio de Cavalieri. Comencemos con un hemisferio: una esfera cortada por la mitad a lo largo del ecuador. También necesitamos un cilindro con el mismo radio y altura que el hemisferio, pero con un cono invertido "cortado" en el medio.

A medida que mueve el control deslizante hacia arriba, puede ver la sección transversal de estas dos formas a una altura específica sobre la base:

Tratemos de encontrar el área de la sección transversal de estos dos sólidos, a una distancia altura h sobre la base.

La sección transversal del hemisferio es siempre un .

El radio x de la sección transversal es parte de un triángulo en ángulo recto , por lo que podemos usar {1111 } Pitágoras](gloss:pythagoras-theorem):

r2=h2+x2.

Ahora, el área de la sección transversal es

A=

La sección transversal del cilindro recortado siempre es un .

El radio del hoyo es h. Podemos encontrar el área del anillo restando el área del agujero del área del círculo más grande:

A=πr2πh2
=πr2h2

Parece que ambos sólidos tienen la misma área de sección transversal en todos los niveles. Según el principio de Cavalieri, ¡ambos sólidos también deben tener el mismo ! Podemos encontrar el volumen del hemisferio restando el volumen del cilindro y el volumen del cono:

VHemisphere=VCylinderVCone
=

Una esfera consta de hemisferios, , lo que significa que su volumen debe ser

V=43πr3.

La Tierra es (aproximadamente) una esfera con un radio de 6.371  km. Por lo tanto su volumen es

V=
= 1 km3

La densidad media de la Tierra es 5510kg/m3. Esto significa que su masa total es

Mass=Volume×Density6×1024kg

¡Eso es un 6 seguido de 24 ceros!

Si compara las ecuaciones para el volumen de un cilindro, cono y esfera, es posible que note una de las relaciones más satisfactorias en geometría. Imagina que tenemos un cilindro con la misma altura que el diámetro de su base. Ahora podemos colocar tanto un cono como una esfera perfectamente en su interior:

+

Este cono tiene radio r y altura 2r. Su volumen es

=

Esta esfera tiene radio r. Su volumen es

Este cilindro tiene radio r y altura 2r. Su volumen es

Observe cómo, si el volumen del cono y la esfera, ¡obtenemos exactamente el volumen del cilindro!

Área de superficie de una esfera

Encontrar una fórmula para el área de superficie de una esfera es muy difícil. Una razón es que no podemos abrir y "aplanar" la superficie de una esfera, como lo hicimos antes para conos y cilindros.

Este es un problema particular cuando se trata de crear mapas. La Tierra tiene una superficie curva tridimensional, pero cada mapa impreso debe ser plano y bidimensional. Esto significa que los geógrafos tienen que hacer trampa: estirando o aplastando ciertas áreas.

Aquí puede ver algunos tipos diferentes de mapas, llamados proyecciones. Intente mover el cuadrado rojo y observe cómo se ve esta área en realidad en un globo:

Mercator
Cylindrical
Robinson
Mollweide

As you move the square on the map, notice how the size and shape of the actual area changes on the 3-dimensional globe.

Para encontrar el área de superficie de una esfera, una vez más podemos aproximarla usando una forma diferente, por ejemplo, un poliedro con muchas caras. A medida que aumenta el número de caras, el poliedro comienza a parecerse cada vez más a una esfera.

PRÓXIMAMENTE: Prueba de área de superficie de esfera