Secuencias y patronesIntroducción

Muchas profesiones que usan las matemáticas están interesadas en un aspecto específico: encontrar patrones y poder predecir el futuro. Aquí mostramos algunos ejemplos:

En la última década, departamentos de policía en todo el mundo han comenzado a confiar más en las matemáticas. Algoritmos especiales pueden usar los datos de crímenes pasados para predecir cuándo y dónde podrían ocurrir crímenes en el futuro. Por ejemplo, el sistema PredPol (abreviatura de "vigilancia predictiva" en ingles) ayudó a reducir la tasa de criminalidad de Los Ángeles en un 12%.

Resulta que los terremotos siguen patrones similares a los crímenes. Al igual que un crimen podría provocar represalias, un terremoto podría provocar réplicas. En matemáticas, esto se llama un "proceso autoexcitado", y hay ecuaciones que ayudan a predecir cuándo podría ocurrir el próximo.

Los banqueros también observan datos históricos del precio de las acciones, las tasas de interés y las tasas de cambio de divisas, para estimar cómo los mercados financieros podrían cambiar en el futuro. ¡Ser capaz de predecir si el valor de una acción aumentará o disminuirá puede ser extremadamente lucrativo!

Los matemáticos profesionales usan algoritmos altamente complejos para encontrar y analizar todos estos patrones, pero vamos a comenzar con un ejemplo un poco más básico.

Secuencias simples

En matemáticas, una secuencia es una cadena de números (u otros objetos) que generalmente siguen un patrón particular. Los elementos individuales en una secuencia se llaman términos.

Aquí hay algunos ejemplos de secuencias. ¿Puedes encontrar sus patrones y calcular los próximos dos términos?

3, 6*{span.arrow}+3*, 9*{span.arrow(hidden)}+3*, 12*{span.arrow(hidden)}+3*, 15*{span.arrow(hidden)}+3*, , … Patrón: "Sumar 3 al número anterior para obtener el siguiente".

4, 10*{span.arrow(hidden)}+6*, 16*{span.arrow(hidden)}+6*, 22*{span.arrow(hidden)}+6*, 28*{span.arrow(hidden)}+6*, , , … Patrón: “Sumar 6 al número anterior para obtener el siguiente”.

3, 4*{span.arrow(hidden)}+1*, 7*{span.arrow(hidden)}+3*, 8*{span.arrow(hidden)}+1*, 11*{span.arrow(hidden)}+3*, , , … Patrón: “Sumar alternadamente 1 y sumas 3 al número anterior, para obtener el siguiente”.

1, 2*{span.arrow(hidden)}×2*, 4*{span.arrow(hidden)}×2*, 8*{span.arrow(hidden)}×2*, 16*{span.arrow(hidden)}×2*, , , … Patrón: "Multiplicar el número anterior por 2, para obtener el siguiente".

Los puntos (…) al final simplemente significan que la secuencia puede continuar para siempre. Cuando nos referimos a secuencias como esta en matemáticas, a menudo representamos cada término mediante una variable especial:

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, …

El pequeño número después de x se llama un subíndice, e indica la posición del término en la secuencia. Esto significa que podemos representar el n ésimo-término en la secuencia por .

Triángulos y números cuadrados

Las secuencias en matemáticas no siempre tienen que ser númericas. Aquí hay una secuencia que consiste en formas geométricas: triángulos de tamaño creciente:

En cada paso, estamos agregando una fila más al triángulo anterior. La longitud de cada fila nueva también aumenta en uno cada vez. ¿Puedes ver el patrón?

1, 3*{span.arrow}+2*, 6*{span.arrow}+3*, 10*{span.arrow}+4*, 15*{span.arrow}+5*, 21*{span.arrow}+6* +7, +8, …

También podemos describir este patrón usando una fórmula especial:

xn = xn−1 + n

Para obtener el número del triángulo n, tomamos el número del triángulo y sumamos n. Por ejemplo, si n = ${n}, la fórmula se convierte en x${n} = x${n-1} + ${n}.

Una fórmula que expresa xn en función de términos anteriores en la secuencia se llama fórmula recursiva. Mientras conozcamos el de la secuencia, podremos calcular todos los siguientes.

Otra secuencia que consiste en formas geométricas son los números cuadrados. Cada término está formado por cuadrados cada vez más grandes:

Para los números de triángulo, encontramos una fórmula recursiva que le indica el siguiente término de la secuencia en función de sus términos anteriores. Para los números cuadrados podemos hacerlo aún mejor: una ecuación que le indica el n ésimo-término directamente, sin tener que calcular primero todos los anteriores:

xn =

Las ecuaciones como esta se denominan fórmulas explícitas. Podemos usarlo, por ejemplo, para calcular que el 13º número cuadrado es , sin encontrar primero los 12 números cuadrados anteriores.

Resumamos todas las definiciones que hemos visto hasta ahora:

Una secuencia es una lista de números, formas geométricas u otros objetos que siguen un patrón específico. Los elementos individuales de la secuencia se denominan términos y se representan mediante variables como xn.

Una fórmula recursiva para una secuencia dice el valor del n ésimo-término en función de . También debe especificar los primeros términos.

Una fórmula explícita para una secuencia dice el valor del término n -ésimo en función de , sin hacer referencia a otros términos en la secuencia.

Fotografía de secuencia de acción

En las siguientes secciones aprenderá sobre muchas secuencias matemáticas diferentes, patrones sorprendentes y aplicaciones inesperadas.

Primero, sin embargo, veamos algo completamente diferente: fotografía de secuencia de acción. Un fotógrafo toma muchas fotos en cámara rápida y luego las combina en una sola imagen:

¿Puedes ver cómo el esquiador forma una secuencia? El patrón no es suma ni multiplicación, sino una transformación geométrica. Entre los pasos consecutivos, el esquiador se traslada y .

Aquí hay algunos ejemplos más de fotografía de secuencia de acción para observar:

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