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SvenskaSecuencias y patronesTriángulo de Pascal
A continuación podemos ver una pirámide numérica que se crea usando un patrón simple: comienza con un solo "1" en la parte superior, y cada celda siguiente es la suma de las dos celdas directamente superiores. Pase el mouse sobre algunas de las celdas para ver cómo se calculan y luego complete las que faltan:
Este diagrama solo muestra las primeras doce filas, pero podríamos continuar para siempre, agregando nuevas filas en la parte inferior. Observe que el triángulo es
El triángulo se llama
En 450 a. C., el matemático indio
En Irán, se conocía como el "Triángulo de Khayyam" (مثلث خیام), llamado así por el poeta y matemático persa
En China, el matemático Jia Xian también descubrió el triángulo. Fue nombrado después de su sucesor, "El triángulo de Yang Hui" (杨辉 三角).
El triángulo de Pascal se puede crear usando un patrón muy simple, pero está lleno de patrones y propiedades sorprendentes. Es por eso que ha fascinado a los matemáticos de todo el mundo, durante cientos de años.
Buscando secuencias
En las secciones anteriores vimos innumerables secuencias matemáticas diferentes. Resulta que muchos de ellos también se pueden encontrar en el triángulo de Pascal:
Los números en la primera diagonal a cada lado son todos
Los números en la segunda diagonal a cada lado son los
Los números en la tercera diagonal a cada lado son los
Los números en la cuarta diagonal son los
Si sumas todos los números en una fila, sus sumas forman otra secuencia: los
En cada fila que tiene un número primo en su segunda celda, todos los números siguientes son
El diagrama anterior resalta las diagonales "superficiales" en diferentes colores. Si sumamos los números en cada diagonal, obtenemos los
Por supuesto, cada uno de estos patrones tiene una razón matemática que explica por qué aparece. ¡Quizás puedas encontrar algunos de ellos!
Otra pregunta que podemos hacer es con qué frecuencia aparece un número en el triángulo de Pascal. Claramente, hay infinitos 1s, uno 2, y todos los demás números aparecen
Algunos números en el medio del triángulo también aparecen tres o cuatro veces. Incluso hay algunas que aparecen seis veces: puede ver tanto
Como 3003 es un número de triángulo, en realidad aparece dos veces más en las diagonales tercera del triángulo, lo que hace ocho ocurrencias en total.
Se desconoce si hay otros números que aparecen ocho veces en el triángulo, o si hay números que aparecen más de ocho veces. El matemático estadounidense
Divisibilidad
Algunos patrones en el triángulo de Pascal no son tan fáciles de detectar. En el siguiente diagrama, resalte todas las celdas que son pares:
Parece que los números pares en el triángulo de Pascal forman
Colorear cada celda manualmente lleva mucho tiempo, pero aquí puede ver qué sucede si haríamos esto para muchas más filas. ¿Y qué hay de las céldas divisibles por otros números?
¡Guauu! Las celdas de colores siempre aparecen en
Si continuamos el patrón de celdas divisibles por 2, obtenemos uno que es muy similar al triángulo de Sierpinski a la derecha. Las formas como esta, que consisten en un patrón simple que parece continuar para siempre mientras se hacen cada vez más pequeñas, se denominan
El triángulo de Sierpinski
Coeficientes binomiales
Hay una propiedad más importante del triángulo de Pascal de la que tenemos que hablar. Para entenderlo, intentaremos resolver el mismo problema con dos métodos completamente diferentes y luego veremos cómo están relacionados.
MUY PRONTO