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Secuencias y patronesTriángulo de Pascal

Tiempo de leer: ~25 min

A continuación podemos ver una pirámide numérica que se crea usando un patrón simple: comienza con un solo "1" en la parte superior, y cada celda siguiente es la suma de las dos celdas directamente superiores. Pase el mouse sobre algunas de las celdas para ver cómo se calculan y luego complete las que faltan:

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Este diagrama solo muestra las primeras doce filas, pero podríamos continuar para siempre, agregando nuevas filas en la parte inferior. Observe que el triángulo es , lo que puede ayudarlo a calcular algunas de las celdas.

El triángulo se llama El triángulo de Pascal, llamado así por el matemático francés Blaise Pascal. Fue uno de los primeros matemáticos europeos en investigar sus patrones y propiedades, pero fue conocido por otras civilizaciones muchos siglos antes:

En 450 a. C., el matemático indio Pingala llamó al triángulo la "Escalera del Monte Meru", llamada así por una montaña sagrada hindú.

En Irán, se conocía como el "Triángulo de Khayyam" (مثلث خیام), llamado así por el poeta y matemático persa Omar Khayyám.

En China, el matemático Jia Xian también descubrió el triángulo. Fue nombrado después de su sucesor, "El triángulo de Yang Hui" (杨辉 三角).

El triángulo de Pascal se puede crear usando un patrón muy simple, pero está lleno de patrones y propiedades sorprendentes. Es por eso que ha fascinado a los matemáticos de todo el mundo, durante cientos de años.

Buscando secuencias

En las secciones anteriores vimos innumerables secuencias matemáticas diferentes. Resulta que muchos de ellos también se pueden encontrar en el triángulo de Pascal:

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Los números en la primera diagonal a cada lado son todos .

Los números en la segunda diagonal a cada lado son los .

Los números en la tercera diagonal a cada lado son los .

Los números en la cuarta diagonal son los .

Si sumas todos los números en una fila, sus sumas forman otra secuencia: los .

En cada fila que tiene un número primo en su segunda celda, todos los números siguientes son de ese primo.

El diagrama anterior resalta las diagonales "superficiales" en diferentes colores. Si sumamos los números en cada diagonal, obtenemos los .

Por supuesto, cada uno de estos patrones tiene una razón matemática que explica por qué aparece. ¡Quizás puedas encontrar algunos de ellos!

Otra pregunta que podemos hacer es con qué frecuencia aparece un número en el triángulo de Pascal. Claramente, hay infinitos 1s, uno 2, y todos los demás números aparecen , en la segunda diagonal a cada lado.

Algunos números en el medio del triángulo también aparecen tres o cuatro veces. Incluso hay algunas que aparecen seis veces: puede ver tanto 120 como 3003 cuatro veces en el triángulo de arriba, y aparecerán dos veces más cada una en las filas 120 y 3003 .

Como 3003 es un número de triángulo, en realidad aparece dos veces más en las diagonales tercera del triángulo, lo que hace ocho ocurrencias en total.

Se desconoce si hay otros números que aparecen ocho veces en el triángulo, o si hay números que aparecen más de ocho veces. El matemático estadounidense David Singmaster planteó la hipótesis de que hay un límite fijo sobre la frecuencia con la que los números pueden aparecer en el triángulo de Pascal, pero aún no se ha demostrado.

Divisibilidad

Algunos patrones en el triángulo de Pascal no son tan fáciles de detectar. En el siguiente diagrama, resalte todas las celdas que son pares:

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35
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1

Parece que los números pares en el triángulo de Pascal forman .

Colorear cada celda manualmente lleva mucho tiempo, pero aquí puede ver qué sucede si haríamos esto para muchas más filas. ¿Y qué hay de las céldas divisibles por otros números?

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1365
455
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8008
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1820
560
120
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19448
24310
24310
19448
12376
6188
2380
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136
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18564
31824
43758
48620
43758
31824
18564
8568
3060
816
153
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27132
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75582
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92378
75582
50388
27132
11628
3876
969
171
19
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20
190
1140
4845
15504
38760
77520
125970
167960
184756
167960
125970
77520
38760
15504
4845
1140
190
20
1
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21
210
1330
5985
20349
54264
116280
203490
293930
352716
352716
293930
203490
116280
54264
20349
5985
1330
210
21
1
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22
231
1540
7315
26334
74613
170544
319770
497420
646646
705432
646646
497420
319770
170544
74613
26334
7315
1540
231
22
1
1
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253
1771
8855
33649
100947
245157
490314
817190
1144066
1352078
1352078
1144066
817190
490314
245157
100947
33649
8855
1771
253
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2024
10626
42504
134596
346104
735471
1307504
1961256
2496144
2704156
2496144
1961256
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¡Guauu! Las celdas de colores siempre aparecen en (a excepción de algunas celdas individuales, que podrían verse como triángulos de tamaño 1).

Si continuamos el patrón de celdas divisibles por 2, obtenemos uno que es muy similar al triángulo de Sierpinski a la derecha. Las formas como esta, que consisten en un patrón simple que parece continuar para siempre mientras se hacen cada vez más pequeñas, se denominan Fractales. Aprenderemos más sobre ellos en el futuro …

Sierpinski Triangle

El triángulo de Sierpinski

Coeficientes binomiales

Hay una propiedad más importante del triángulo de Pascal de la que tenemos que hablar. Para entenderlo, intentaremos resolver el mismo problema con dos métodos completamente diferentes y luego veremos cómo están relacionados.

MUY PRONTO

Archie