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Secuencias y patronesNúmeros figurados

Tiempo de leer: ~20 min

El nombre de secuencias geométricas es bastante confuso, porque no tienen nada que ver con la geometría. De hecho, el nombre se desarrolló hace cientos de años, cuando los matemáticos pensaron en multiplicación y raíces cuadradas de una manera mucho más geométrica.

Sin embargo, hay muchas otras secuencias que son basadas en ciertas formas geométricas, algunas de las cuales ya viste en la introducción. Estas secuencias a menudo se denominan números figurados, y en esta sección veremos más de cerca algunas de ellas.

Números triangulares

Los números de triángulo se generan creando triángulos de tamaño progresivamente mayor:

1

triangle-1

3

triangle-2

6

triangle-3

10

triangle-4

15

triangle-5

21

triangle-6

Ya has visto la fórmula recursiva para los números de triángulo: xn= .

No es casualidad que siempre haya 10 palos cuando juegues al bowling o 15 bolas cuando juegues al billar: ¡ambos son números triangulares!

Desafortunadamente, la fórmula recursiva no es muy útil si queremos encontrar el número de triángulo número 100 o 5000, sin calcular primero todos los números anteriores. Pero, como hicimos con las secuencias aritméticas y geométricas, podemos intentar encontrar una fórmula explícita para los números triangulares.

PRÓXIMAMENTE: Prueba animada para la fórmula del número triangular

Los números de triángulos parecen aparecer en todas partes en matemáticas, y los veremos nuevamente a lo largo de este curso. Un hecho particularmente interesante es que cualquier número entero se puede escribir como la suma de como máximo tres números triangulares:

${n}

=

+

+

El hecho de que esto funcione para todos números enteros fue probado por primera vez en 1796 por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss - ¡a la edad de 19 años!

Problema

¿Cuál es la suma de los primeros 100 enteros positivos positivos? En otras palabras, ¿cuál es el valor de

1+2+3+4+5++97+98+99+100?

En lugar de sumar todo manualmente, ¿puedes usar los números de triángulo para ayudarte? ¿Qué pasa con la suma de los primeros 1000 enteros positivos?

Números cuadrados y poligonales

Otra secuencia que se basa en formas geométricas son los números cuadrados:

1, 4+3, 9+5, 16+7, +9, +11, +13, +15, …

Puedes calcular los números en esta secuencia al elevar al cuadrado cada número entero (12, 22, 32, …), pero resulta que hay otro patrón: las diferencias entre los números cuadrados consecutivos son ¡ en orden creciente!

La razón de este patrón se hace evidente si realmente dibujamos un cuadrado. En cada paso se agrega una fila y una columna. El tamaño de estas "esquinas" comienza en 1 y aumenta en 2 en cada paso, formando así la secuencia de números impares.

¡Esto también significa que el n-ésimo número cuadrado es igual a la suma de los primeros n números impares! Por ejemplo, la suma de los primeros 6 números impares es

1+3+5+7+9+11= .

1 3 5 7 9 11 13

Además, cada número cuadrado también es la suma de dos números triangulares consecutivos. Por ejemplo, ${n×n} = ${n×(n+1)/2} + ${n×(n-1)/2}. ¿Puedes ver cómo podemos dividir cada cuadrado a lo largo de su diagonal, en dos triángulos?

x=

Después de los números triangulares y los cuadrados, podemos continuar con polígonos más grandes. Las secuencias numéricas resultantes se denominan números poligonales.

Por ejemplo, si usamos polígonos con ${k} lados, obtenemos la secuencia de ${polygonName(k)} números.

¿Puedes encontrar fórmulas recursivas y explícitas para el n-ésimo número poligonal que tiene k lados? ¿Notas algún otro patrón interesante para polígonos más grandes?

Números tetraédricos y cúbicos

Por supuesto, tampoco tenemos que limitarnos a formas y patrones bidimensionales. Podríamos apilar esferas para formar pequeñas pirámides, tal como se apilan las naranjas en un supermercado:

1

20

35

Los matemáticos a menudo llaman a estas pirámides tetraedros, y la secuencia resultante números tetraédricos.

PRÓXIMAMENTE: Más sobre números tetraédricos, números cúbicos y los 12 días de Navidad.

Archie