Secuencias y patronesSecuencias especiales
Además de Una secuencia aritmética(a veces llamada progresión aritmética ____) es una secuencia de números en la que la diferencia d entre términos consecutivos es siempre constante. Una secuencia geométrica (a veces llamada progresión geométrica) es una secuencia de números en la que la razón r entre términos consecutivos siempre es constante. La secuencia de números de Fibonacci comienza con 1, 1. Cada término siguiente es la suma de los dos términos anteriores, lo que significa que la fórmula recursiva es Los números figurados son números que se pueden representar usando formas geométricas. Los ejemplos incluyen números cuadrados, triangulares y tetraédricos.
Números primos
Un ejemplo que ya has visto antes son los Un número primo es un número entero positivo que no tiene otros factores además de 1 y en sí mismo. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... Un número a es un factor(o divisor) de un número b, si puede dividir b por a sin resto.
Aquí están los primeros números primos:
2, 3, 5, 7, 11,
Desafortunadamente, los números primos no siguen un patrón simple o una fórmula recursiva. A veces aparecen directamente uno al lado del otro (se denominan Los primos gemelos son pares de números primos como 17 y 19 o 101 y 103, que están exactamente separados por dos. Se desconoce si hay infinitos pares de primos gemelos.
Los números primos tampoco tienen una representación geométrica simple como los Un número de triángulo es un número entero que se puede representar como un triángulo equilátero de puntos. La fórmula para el n número de triángulo es Un número cuadrado es un número que se puede expresar como el cuadrado de otro número entero. Los primeros números cuadrados son 1, 4, 9, 16, 25, ...
Puede obtener más información sobre estas y otras propiedades de los números primos en nuestro curso sobre Divisibilidad y primos. ¡Son algunos de los conceptos más importantes y misteriosos de las matemáticas!
Números perfectos
Para determinar si un número es Un número primo es un número entero positivo que no tiene otros factores además de 1 y en sí mismo. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... Un número a es un factor(o divisor) de un número b, si puede dividir b por a sin resto.
Número | Factores | Suma de factores |
5 | 1 | 1 |
6 | 1 2 3 | 6 |
7 | 1 | 1 |
8 | 1 2 4 | 7 |
9 | 1 3 | 4 |
10 | 1 2 5 | |
11 | 1 | |
12 | 1 2 3 4 6 | |
13 | 1 | |
14 | 1 2 7 | |
15 | 1 3 5 | |
16 | 1 2 4 8 | |
17 | 1 | |
18 | 1 2 3 6 9 |
Comparemos estos números con su suma de factores:
Para la mayoría de los números, la suma de sus factores es
Para algunos números, la suma de sus factores es mayor que sí misma. Estos números se llaman números abundantes.
Solo un número en la lista anterior tiene una suma de factores que es igual a sí mismo: Un número perfecto es un número que es igual a la suma de sus divisores (excluyéndose a sí mismo). Por ejemplo,
El siguiente número perfecto es 28, porque si sumamos todos sus factores obtenemos
6, 28, 496, 8,128, 33,550,336, 8,589,869,056, 137,438,691,328, 2,305,843,008,139,952,128,…
Tenga en cuenta que todos estos números son
Los números perfectos fueron estudiados por primera vez por antiguos matemáticos griegos como Euclides de Alejandría (alrededor del 300 a. C.) era un matemático griego y a menudo se le llama el padre de la geometría. Publicó un libro Elementos que introdujo por primera vez la geometría euclidiana y contenía muchas pruebas importantes en geometría y teoría de números. Fue el principal libro de texto de matemáticas hasta el siglo XIX. Enseñó matemáticas en Alejandría, pero se sabe muy poco sobre su vida. Pitágoras de Samos (c. 570 - 495 a. C.) fue un filósofo y matemático griego. Es mejor conocido por probar el teorema de Pitágoras, pero realizó muchos otros descubrimientos matemáticos y científicos. Pitágoras trató de explicar la música de manera matemática, y descubrió que dos tonos suenan "bien" juntos (consonantes) si la proporción de sus frecuencias es una fracción simple. También fundó una escuela en Italia donde él y sus alumnos adoraban las matemáticas casi como una religión, mientras seguían una serie de reglas extrañas, pero la escuela finalmente fue incendiada por sus adversarios. Nicomachus of Gerasa (c. 60 - 120) fue un antiguo matemático griego que también pasó mucho tiempo pensando en las propiedades místicas de los números. Su libro Introducción a la aritmética contiene la primera mención de números perfectos.
Hoy, los matemáticos han usado computadoras para verificar los primeros 10 1500 números (es decir, 1 seguido de 1500 ceros), pero sin éxito: todos los números perfectos que encontraron fueron pares. Hasta el día de hoy, aún se desconoce si hay números impares perfectos, lo que lo convierte en el problema no resuelto más antiguo en de todas las matemáticas.
La secuencia de granizo
La mayoría de las secuencias que hemos visto hasta ahora tenían una sola regla o patrón. Pero no hay ninguna razón por la que no podamos combinar varios diferentes, por ejemplo, una fórmula recursiva como esta:
Si | |
Si |
Comencemos con
5,
Parece que después de algunos términos, la secuencia alcanza un "ciclo": 4, 2, 1 continuará repitiéndose una y otra vez, para siempre.
Por supuesto, podríamos haber elegido un punto de partida diferente, como
, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …
Parece que la longitud de la secuencia varía mucho, pero siempre terminará en un ciclo 4, 2, 1, sin importar el primer número que elijamos. Incluso podemos visualizar los términos de la secuencia en un gráfico:
Observe cómo algunos puntos de partida terminan muy rápidamente, mientras que otros (como o ) toman más de un centenar de pasos antes de llegar al 4, 2, 1 ciclo.
Todas las secuencias que siguen esta fórmula recursiva se llaman Se pueden generar secuencias de granizo seleccionando cualquier número entero como punto de partida y luego siguiendo estas reglas: Si Si
En 1937, el matemático Lothar Collatz (1910 - 1990) fue un matemático alemán que trabajó en ecuaciones diferenciales y problemas de optimización. El problema de conjetura de Collatz o
Sin embargo, hay infinitos números enteros. Es imposible verificar cada uno de ellos, y nadie ha podido encontrar una Una prueba es un argumento lógico que muestra más allá de cualquier duda que cierta afirmación es verdadera.
Al igual que la búsqueda de números perfectos impares, este sigue siendo un problema abierto en matemáticas. ¡Es sorprendente que estos patrones simples para secuencias puedan conducir a preguntas que han desconcertado incluso a los mejores matemáticos del mundo durante siglos!
La secuencia de mirar y decir
Aquí hay una secuencia más que es un poco diferente de todas las que has visto anteriormente. ¿Puedes encontrar el patrón?
1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, …
Esta secuencia se llama secuencia Mirar y Decir, y el patrón es exactamente lo que dice el nombre: comienzas con un 1, y cada término siguiente es lo que obtienes si “lees en voz alta” el el anterior. Aquí hay un ejemplo:
¿Puedes encontrar ahora los siguientes términos?
…, 312211,
Esta secuencia se usa a menudo como un rompecabezas para confundir a los matemáticos, porque el patrón parece ser completamente no matemático. Sin embargo, resulta que la secuencia tiene muchas propiedades interesantes. Por ejemplo, cada término termina en
El matemático británico John Horton Conway (1937 - 2020) fue un matemático británico que trabajó en Cambridge y la Universidad de Princeton. Fue miembro de la Royal Society, y el primer recipiente del Premio Pólya. Exploró las matemáticas subyacentes de los objetos cotidianos, como los nudos y los juegos, y contribuyó a la teoría de grupos, la teoría de números y muchas otras áreas de las matemáticas. Conway es conocido por inventar el "Juego de la vida de Conway", un autómata celular con propiedades fascinantes.
El cuestionario de secuencia
Hasta ahora ha visto innumerables secuencias matemáticas diferentes, algunas basadas en formas geométricas, algunas que siguen fórmulas específicas y otras que parecen comportarse casi al azar.
En este cuestionario puedes combinar todos tus conocimientos sobre secuencias. Solo hay un objetivo: ¡encontrar el patrón y calcular los siguientes dos términos!
Encuentra el siguiente número
7, 11, 15, 19, 23, 27,
11, 14, 18, 23, 29, 36,
3, 7, 6, 10, 9, 13,
2, 4, 6, 12, 14, 28,
1, 1, 2, 3, 5, 8,
27, 28, 30, 15, 16, 18,
1, 9, 25, 49, 81, 121,