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Secuencias y patrones
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Introducción
Secuencias aritméticas y geométricas
Números figurados
Secuencias como funciones
Números de Fibonacci
Secuencias especiales
Triángulo de Pascal
Límites y convergencia

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Secuencias y patronesSecuencias especiales

Tiempo de leer: ~45 min

Además de aritmética y secuencias geométricas, números de Fibonacci y números figurados, hay innumerables secuencias interesantes que no siguen una secuencia similar, un patron regular.

Números primos

Un ejemplo que ya has visto antes son los números primos. Decimos que un número es primo si no tiene factores .

Aquí están los primeros números primos:

2, 3, 5, 7, 11, , , , …

Desafortunadamente, los números primos no siguen un patrón simple o una fórmula recursiva. A veces aparecen directamente uno al lado del otro (se denominan primos gemelos), y a veces hay grandes diferencias entre ellos. ¡Parecen estar distribuidos casi al azar!

Los números primos tampoco tienen una representación geométrica simple como los números triangulares o los números cuadrados, pero con un poco de trabajo podemos revelar patrones interesantes:

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Si tachamos todos los múltiplos de enteros pequeños, los números restantes deben ser primos. Este método se llama Tamiz de Eratóstenes.

Si dibujamos un gráfico que aumenta en 1 siempre que haya un número primo, obtenemos una función "escalonada" con propiedades fascinantes.

Puede obtener más información sobre estas y otras propiedades de los números primos en nuestro curso sobre Divisibilidad y primos. ¡Son algunos de los conceptos más importantes y misteriosos de las matemáticas!

Números perfectos

Para determinar si un número es primo, tenemos que encontrar todos sus factores. Por lo general, multiplicaríamos estos factores para recuperar el número original, pero veamos qué sucede si sumamos todos los factores de un número:

NúmeroFactoresSuma de factores
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Comparemos estos números con su suma de factores:

Para la mayoría de los números, la suma de sus factores es sí misma. Estos números se denominan números deficientes.

Para algunos números, la suma de sus factores es mayor que sí misma. Estos números se llaman números abundantes.

Solo un número en la lista anterior tiene una suma de factores que es igual a sí mismo: . Estos números se llaman números perfectos.

El siguiente número perfecto es 28, porque si sumamos todos sus factores obtenemos 1+2+4+7+14=28. Después de eso, los números perfectos se vuelven mucho más raros:

6, 28, 496, 8,128, 33,550,336, 8,589,869,056, 137,438,691,328, 2,305,843,008,139,952,128,…

Tenga en cuenta que todos estos números son . ¡Resulta que también son todos números de triángulo!

Los números perfectos fueron estudiados por primera vez por antiguos matemáticos griegos como Euclides, Pitágoras y Nicomachus, hace más de 2000 años. Calcularon los primeros números perfectos y se preguntaron si podría haber impares.

Hoy, los matemáticos han usado computadoras para verificar los primeros 10 1500 números (es decir, 1 seguido de 1500 ceros), pero sin éxito: todos los números perfectos que encontraron fueron pares. Hasta el día de hoy, aún se desconoce si hay números impares perfectos, lo que lo convierte en el problema no resuelto más antiguo en de todas las matemáticas.

Euclides de Alejandría

La secuencia de granizo

La mayoría de las secuencias que hemos visto hasta ahora tenían una sola regla o patrón. Pero no hay ninguna razón por la que no podamos combinar varios diferentes, por ejemplo, una fórmula recursiva como esta:

Si xn es par:xn+1=xn/2
Si xn es impar:xn+1=3xn+1

Comencemos con x1=5 y veamos qué sucede:

5, ×3 +1, ÷2, ÷2, ÷2, ÷2, ×3 +1, ÷2, ÷2, …

Parece que después de algunos términos, la secuencia alcanza un "ciclo": 4, 2, 1 continuará repitiéndose una y otra vez, para siempre.

Por supuesto, podríamos haber elegido un punto de partida diferente, como ${n}. Entonces la secuencia se vería así:

${hailstones(n)}, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …

Parece que la longitud de la secuencia varía mucho, pero siempre terminará en un ciclo 4, 2, 1, sin importar el primer número que elijamos. Incluso podemos visualizar los términos de la secuencia en un gráfico:

Start value:${n}

Observe cómo algunos puntos de partida terminan muy rápidamente, mientras que otros (como o ) toman más de un centenar de pasos antes de llegar al 4, 2, 1 ciclo.

Todas las secuencias que siguen esta fórmula recursiva se llaman Secuencias de granizo, porque parecen moverse aleatoriamente hacia arriba y hacia abajo antes de alcanzar el ciclo 4, 2, 1, al igual que las piedras de granizo que se mueven hacia arriba y hacia abajo en una nube antes de estrellarse contra la Tierra.

En 1937, el matemático Lothar Collatz propuso que cada secuencia de granizo termina finalmente en un ciclo 4, 2, 1, cualquiera que sea el valor inicial que elija. Ya hemos verificado algunos puntos de partida anteriores, y las computadoras lo han probado para todos los números hasta 1020, es decir, 100 mil millones o un 1 seguido de veinte ceros.

Sin embargo, hay infinitos números enteros. Es imposible verificar cada uno de ellos, y nadie ha podido encontrar una prueba que funcione para todos.

Al igual que la búsqueda de números perfectos impares, este sigue siendo un problema abierto en matemáticas. ¡Es sorprendente que estos patrones simples para secuencias puedan conducir a preguntas que han desconcertado incluso a los mejores matemáticos del mundo durante siglos!

La secuencia de mirar y decir

Aquí hay una secuencia más que es un poco diferente de todas las que has visto anteriormente. ¿Puedes encontrar el patrón?

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, …

Esta secuencia se llama secuencia Mirar y Decir, y el patrón es exactamente lo que dice el nombre: comienzas con un 1, y cada término siguiente es lo que obtienes si “lees en voz alta” el el anterior. Aquí hay un ejemplo:

¿Puedes encontrar ahora los siguientes términos?

…, 312211, , , …

Esta secuencia se usa a menudo como un rompecabezas para confundir a los matemáticos, porque el patrón parece ser completamente no matemático. Sin embargo, resulta que la secuencia tiene muchas propiedades interesantes. Por ejemplo, cada término termina en , y nunca se usa ningún dígito mayor que .

El matemático británico John Conway descubrió que, sin importar el número que elija como valor inicial, la secuencia eventualmente se dividirá en distintas "secciones" que ya no interactúan entre sí. Conway llamó a esto el Teorema cosmológico, y nombró las diferentes secciones utilizando los elementos químicos Hidrógeno, Helio, Litio, …, hasta Plutonio.

El cuestionario de secuencia

Hasta ahora ha visto innumerables secuencias matemáticas diferentes, algunas basadas en formas geométricas, algunas que siguen fórmulas específicas y otras que parecen comportarse casi al azar.

En este cuestionario puedes combinar todos tus conocimientos sobre secuencias. Solo hay un objetivo: ¡encontrar el patrón y calcular los siguientes dos términos!

Encuentra el siguiente número

7, 11, 15, 19, 23, 27, , , … Patrón: Siempre +4

11, 14, 18, 23, 29, 36, , , … Patrón: +3, +4, +5, +6,…

3, 7, 6, 10, 9, 13, , , … Patrón: +4, –1, +4, –1,…

2, 4, 6, 12, 14, 28, , , … Patrón: × 2, +2, × 2, +2,…

1, 1, 2, 3, 5, 8, , , … Patrón: Números de Fibonacci

27, 28, 30, 15, 16, 18, , , … Patrón: +1, +2, ÷ 2, +1, +2, ÷ 2,…

1, 9, 25, 49, 81, 121, , , … Patrón: números cuadrados impares

Archie